2021高考数学(四川专用-理科)二轮突破练4.docx

突破练(四)
1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h(x)的图象，再将h(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式，并求g(x)在[0，π]上的值域．
解　(1)∵f(x)＝2cos 2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x，
∴f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(x)＝2sin (2x＋)＋1h(x)＝2sin ＋1，

∵x∈[0，π]，∴x－∈[－，]．
∴sin (x－)∈[－，1]．
∴g(x)在[0，π]上的值域为[0,3]．
2．今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威逼．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应当提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查状况进行整理后制成下表：
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4

(1)完成被调查人员的频率分布直方图；
(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
解　各组的频率分布是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1.
所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02，0.01，0.01.

(2)ξ的全部可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝·＝×＝＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝＝，
P(ξ＝2)＝·＋·＝×＋×＝＝，
P(ξ＝3)＝·＝×＝＝，
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P

所以ξ的数学期望E(ξ)＝.

3．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2.

(1)求证：AF∥平面CDE；
(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；
(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

(1)证明　法一　取CE的中点为G，连接DG，FG.
∵BF∥CG且BF＝CG，
∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，
∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG.
∵DG⊂平面CDE，AF⊄平面CDE，
∴AF∥平面CDE.
法二　在矩形ABCD中有AB∥CD，
∵CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，
∴AB∥平面CDE.
在梯形BCEF中有BF∥CE.
∵CE⊂平面CDE，BF⊄平面CDE，
∴BF∥平面CDE.
又∵AB∩BF＝B，且AB⊂平面ABF，BF⊂平面ABF，
∴平面ABF∥平面CDE.
又∵AF⊂平面ABF，
∴AF∥平面CDE.
(2)解　∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，
BC⊥CE，∴DC⊥平面BCEF.

以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
依据题意我们可得以下点的坐标：
A(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)，则＝(－2,0,0)，＝(0,4，－4)．
设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
∴
取z1＝1，得n1＝(0,1,1)．
∵DC⊥平面BCEF.
∴平面BCEF的一个法向量为＝(0,0,4)．
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，
则cos α＝＝＝，
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为.
(3)解　依据(2)知平面ADE的一个法向量为
n1＝(0,1,1)，∵＝(2，－2,0)，
∴cos 〈，n1〉＝＝＝－，
设直线EF与平面ADE所成的角为θ，
则cos θ＝|sin 〈，n1〉|＝，
因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.
(1)求an，bn；
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.
解　(1)当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1，
∴an＝2n＋1，
∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，
∴bn＋1＝.
∴当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，
∴bn＝.
(2)由(1)知，bn＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝3＋＋＋…＋－
＝3＋4×－
＝5－，
∴Tn＝－.

5．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为单位圆C2：x2＋y2＝1的直径，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A，B两点(A，B两点均在y轴的右侧)，设B2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB2B的最大值．
解　(1)由题知b＝1，又e＝＝＝，得a2＝3，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得B1(0,1)，B2(0，－1)，设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y＝kx＋1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1＝－.
把y＝kx＋1代入C1得B(－，)，
由题意易知k＜0，且直线B2B的斜率为k2＝＝－，所以k1，k2＞0，且k1＝3k2，又△B2AB是直角三角形，所以∠AB2B必为锐角，由于与的方向向量分别为(1，k1)，(1，k2)，所以·＝(1，k1)·(1，k2)＝1＋3k，又·＝·cos ∠AB2B，
从而cos ∠AB2B＝
＝＝≥，
当且仅当k2＝时，cos ∠AB2B取得最小值，

由∠AB2B为锐角得∠AB2B的最大值为.
6．已知函数f(x)＝[ax2＋(a－1)2x－a2＋3a－1]ex(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(2,3)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝0，设g(x)＝＋ln x－x，斜率为k的直线与曲线y＝g(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)两点，证明：(x1＋x2)k＞2.
(1)解　 f′(x)＝ex，
当a≥0时，∵x∈(2,3)，∴f(x)在(2,3)上单调递增；
当a＜0，∵f(x)在(2,3)上单调递增，f′(x)＝a(x＋a)(x＋)·ex≥0，
ⅰ)当－1＜a＜0时，得－a≤x≤－，依题意知(2,3)⊆，得－≤a＜0；
ⅱ)当a＝－1时，f′(x)＝－(x－1)2·ex≤0，不合题意，舍去；
ⅲ)当a＜－1时，得－≤x≤－a依题意知(2,3)⊆，得a≤－3.
综上得：a∈(－∞，－3]∪.
(2)证明　当a＝0时，g(x)＝＋ln x－x＝ln x－1，
k＝，
要证(x1＋x2)k＞2，即证(x1＋x2)·＞2，
∵x2－x1＞0，即证ln＞(＞1)．
令h(x)＝ln x－(x＞1)，则h′(x)＝－＝＞0，∴h(x)在(1，＋∞)单调递增，h(x)＞h(1)＝0.∴ln＞.即(x1＋x2)k＞2成立．