2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-11函数模型及其应用-.docx

第十一节　函数模型及其应用

题号
1
2
3
4
5
答案

1.若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：小时)的函数关系用图象表示为(　　)

解析：依据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
答案：B
2．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
解析：要使生产者不亏本，则有3 000＋20x－0.1x2≤25x，解上式得x≤－200或x≥150.
又∵0<x<240，x∈N，
∴x的最小值为150.故选C.
答案：C
3．某工厂接受高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内其次年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(　　)
A．a12－1 B．(1＋a)12－1
C．a D．a－1
解析：不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b(1＋a)，10月份的产值为b(1＋a)2，依次类推，到其次年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故其次年8月份产值是b(1＋a)12.又由增长率的概念知，这两年内的其次年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为：＝(1＋a)12－1.
答案：B
4．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01

现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log3x D．y＝2x－2
解析：代入数据验证，最接近者为B.
答案：B
5．某工厂6年来生产某种产品的状况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)

解析：依题意，前3年年产量增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年的总产量保持匀速增长，故选A.
答案：A
6．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．
解析：当t＝3时，T(3)＝33－3×3＋60＝78.故应填78 ℃.
答案：78 ℃
7．小王每月除去全部日常开支，大约结余a元．小王打算接受零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设1年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王的存款到期利息为________元．
解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ ar＝78ar(元)．
答案：78ar
8．(2021·山东名校信息优化卷)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x) ，则y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________．
解析：由于本题是求两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P点移到原点，开头运动，如图所示，当P点第一次回到x轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与x轴围成的区域面积为＋＋＝π＋1.

答案：π＋1
9．依据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(t∈N*)．

(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)；
(2)这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．
解析：(1)P＝f(t)＝
Q＝g(t)＝－＋，t∈[1，40]，t∈N*.
(2)当1≤t＜20时，
S＝＝－＋，
∵t∈N*，
∴t＝10或11时，Smax＝176.
当20≤t≤40时，S＝(－t＋41)＝t2－28t＋为减函数，
当t＝20时，Smax＝161.
而161＜176，
∴当t＝10或11时，Smax＝176.
10．平安汽车租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，x＞3 000，
则租赁公司的月收益为
f(x)＝(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以当x＝4 050时，f(x)取最大值，其最大值为
f(4 050)＝307 050＞300 000.
故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．