资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2022·吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )
A.π B．2π
C．3π D．4π
解析：选A.依题意知，该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱，其表面积为2π()2＋2π××1＝π.
2. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：选B.设底面边长为x，则V＝x3＝2，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.
3．(2022·武汉市部分学校调研测试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．16 B．24
C．34 D．48
解析：选A. 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其底面是长为6，宽为2的矩形，高为4，故该几何体的体积是V＝×6×2×4＝16.
4．(2022·广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝.
5. (2021·高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108 cm3
B．100 cm3
C．92 cm3
D．84 cm3
解析：选B. 此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为×(×4×3)×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．
二、填空题
6．(2022·武汉市部分学校高三调研测试)已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱∶V球 ＝________.
解析：由题意，2πr2＋2πrh＝4πr2，则r＝h.故V圆柱∶V球＝πr2h∶πr3＝.
答案：
7．(2022·武汉市部分学校高三联考)若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.
解析：由三视图可知，原几何体是一个半圆锥，其底面半圆的半径为2，高为3，故此几何体的表面积是S＝π×22＋×4×3＋π×2×＝2π＋π＋6.
答案：2π＋π＋6
8．(2022·湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋×4×(2π＋6π)＝26π.
答案：26π
三、解答题
9. (2022·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.
10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．
S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.
[力气提升]
一、选择题
1．(2022·宜昌市一中高三模拟)一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为( )
A. B．3
C. D．6
解析：选B.设该三棱柱的底面边长为a，高为h，则底面正三角形的外接圆半径是＝，依题意有2＋2＝2，即＋＝1,1＝＋＋≥3，当且仅当＝，即a＝，h＝2时取等号，此时a2h取得最大值，因此该棱柱的体积a2h的最大值是×6×2＝3.
2．(2022·高考湖北卷)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ .人们还用过一些类似的近似公式．依据π＝3.141 59…推断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A．d≈ B．d≈
C．d≈ D．d≈
解析：选D.由球体积公式得d＝ ≈.
由于≈1.777 777 78，≈1.910 828 03，
≈1.909 090 91，
而最接近于，所以选D.
二、填空题
3．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析：如图，设球O的半径为R，
则由AH∶HB＝1∶2得
HA＝·2R＝R，
∴OH＝.
∵截面面积为π＝π·(HM)2，
∴HM＝1.
在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，
∴R＝.
∴S球＝4πR2＝4π·()2＝π.
答案：π
4．(2021·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸. (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，
∴降水量为＝3(寸)．
答案：3
三、解答题
5．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.
解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，
故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝×1××＝.
(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.
由于四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.
而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.
6．(选做题)(2021·高考湖北卷)
如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发觉矿藏，再连续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1，同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1<d2<d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．
(1)证明：中截面DEFG是梯形；
(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算. 已知V＝(d1＋d2＋d3)S，试推断V估与V的大小关系，并加以证明．
解：(1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，
所以A1A2∥B1B2∥C1C2.
又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1<d2<d3，
所以四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形．
由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，
可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.
同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.
又点M、N分别为AB、AC的中点，
则点D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点，
即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线，
因此DE＝(A1A2＋B1B2)＝(d1＋d2)，
FG＝(A1A2＋C1C2)＝(d1＋d3)，
而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．
(2)V估<V.证明如下：
由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.
由MN是△ABC的中位线，可得MN＝BC＝a，即为梯形DEFG的高，
因此S中＝S梯形DEFG＝·
＝(2d1＋d2＋d3)，
即V估＝S中·h＝(2d1＋d2＋d3)．
又S＝ah，所以V＝(d1＋d2＋d3)S＝(d1＋d2＋d3)．
于是V－V估＝(d1＋d2＋d3)－(2d1＋d2＋d3)
＝[(d2－d1)＋(d3－d1)]．
由d1<d2<d3，得d2－d1>0，d3－d1>0，故V估<V.
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