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第1讲 归纳与类比
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案 D
2．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析 从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案 C
3．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
答案 C
4．(2022·北京卷)同学的语文、数学成果均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若同学甲的语文、数学成果都不低于同学乙，且其中至少有一门成果高于乙，则称“同学甲比同学乙成果好”．假如一组同学中没有哪位同学比另一位同学成果好，并且不存在语文成果相同、数学成果也相同的两位同学，那么这组同学最多有 ( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
解析 用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，而语文成果得A的同学最多只有1个，语文成果得B的也最多只有1个，语文成果得C的也最多只有1个，因此同学最多只有3个，明显(A，C)，(B，B)，(C，A)，满足条件．故同学最多3个．
答案 B
5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．
答案 B
二、填空题
6．(2021·江西六校联考)观看下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，依据上述规律，第n个等式为________．
解析 观看所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝2＝.
答案 13＋23＋…＋n3＝
7．(2022·南昌模拟)观看下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，……，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最终一个数是109，则正整数m等于________．
解析 依题意，留意到从23到m3(m≥2，m∈N)的分拆中共含有2＋3＋…＋m＝个正整数，且最大的正整数为2×＋1＝(m－1)(m＋2)＋1，且109＝(10－1)×(10＋2)＋1，因此所求的正整数m＝10.
答案 10
8．命题p：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．
解析 对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝F1Q.而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a.对于双曲线，过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a.
答案 内角平分线
三、解答题
9．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12 …
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解 表4为 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成首项为n，公比为2的等比数列．
10．f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解 f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①②正确，③错误．由于两个复数假如不全是实数，不能比较大小．
答案 C
12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数．
比如：
他们争辩过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析 观看三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，
a2＝a1＋2，
a3＝a2＋3，
…
an＝an－1＋n.
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
观看正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案 C
13．(2021·汉中调研)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：k(k＋1)＝
[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，
由此得1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
……
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．
相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)”，其结果是________(结果写成关于n的一次因式的积的形式)．
解析 先改写第k项：k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]，由此得1×2×3＝
(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝(2×3×4×5－1×2×3×4)，……，n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]，相加得1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)．
答案 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)
14．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四周体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
证明 如图所示，由射影定理，得
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝
＝.
又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.
猜想，在四周体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
证明：
如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，
AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD，
又AF平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，
∴＝＋＋.
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