资源描述
[学业水平训练]
1．已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D.由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－b|的值为( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选C.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2
＝22－2×2×2×cos 120°＋22＝12.
∴|a－b|＝＝2.
3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析：选A.∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.
设夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0°，180°]，
∴θ＝30°.
4．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2.
5．(2022·石家庄质检)已知平面对量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
解析：选B.∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，
|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.
6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________．
解析：∵|a|·cos 120°＝－2，
∴|a|·(－)＝－2，
∴|a|＝4.
答案：4
7．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
8．已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝________．
解析：∵(a＋b)·(2a－3b)
＝|a|2＋a·b－3|b|2
＝16＋|a||b|cos 60°－3|b|2
＝16＋|b|－3|b|2，
即16＋|b|－3|b|2＝12，
∴3|b|2－|b|－4＝0，
解得|b|＝.
答案：
9．(2022·三明高一检测)已知a与b的夹角为，且|a|＝10，|b|＝8，求
(1)|a＋b|.
(2)a＋b与a的夹角θ的余弦值．
解：(1)|a＋b|2＝(a＋b)2
＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2|a||b|cos ＋|b|2
＝102＋2×10×8×＋82＝244，
所以|a＋b|＝2.
(2)cos θ＝＝
＝＝，
所以a＋b与a的夹角的余弦值是.
10．已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列条件时，能确定△ABC的外形吗？
(1)a·b＜0；(2)a·b＝0；(3)a·b＞0.
解：a·b＝·＝||·||·cos A.
(1)当a·b＜0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)当a·b＞0时，∠A为锐角，△ABC的外形不确定．
[高考水平训练]
1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC中点，则·＝( )
A．－3 B．0
C．－1 D．1
解析：选C.·＝(＋)·(－)
＝·－||2＋||2
＝×2×2×cos 60°－22＋×22＝－1.
2．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
答案：－8或5
3．已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
解：∵，
∴，
即，
∴.
∴cos θ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
4．已知两非零向量a、b的夹角θ＝120°，|a|＝2，|b|＝4.设y＝|xa＋b|(x∈R)，试求y的最小值，并求出对应的x的值．
解：∵|a|＝2，|b|＝4，θ＝120°，
∴a·b＝|a||b|cos 120°＝2×4×(－)＝－4，
∴y2＝|xa＋b|2＝(xa)2＋2xa·b＋b2＝4x2－8x＋16＝4(x－1)2＋12.
又∵x∈R，∴当x＝1时，y有最小值2.
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