资源描述
[学业水平训练]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反
C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λ|a|
解析：选C.只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.由于λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A.由于向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
3．(2022·山东青岛期中)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2＝
解析：选B.∵D为BC的中点，∴＋＝2，
∴2＋2＝0，∴＝－，∴＝.
4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰梯形
解析：选C.由∥且||≠||知，四边形ABCD是梯形．又||＝||，知梯形ABCD是等腰梯形．
5．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.
其中，正确的说法是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：选B.当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不愿定相等，故③不正确．
6．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(a－b)－3(a＋b)＋(2b－a)＝________．
解析：(a－b)－3(a＋b)＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)
＝－11i＋j－5i－4j
＝－16i＋j.
答案：－16i＋j
7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k＜0)．
答案：－4
8．点C在直线AB上，且＝3，则＝________.
解析：＝－＝3－＝2.
答案：2
9．已知两个非零向量e1和e2不共线，假如＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．
证明：∵＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
∴＝＋
＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.
又∵＝2e1＋3e2，∴＝5，
∴、共线，且有公共点B.
∴A、B、D三点共线．
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，求λ的值．
解：由图知＝＋，①
＝＋，②
由题知＋2＝0.
①＋②×2得：3＝＋2，
∴＝＋，∴λ＝.
[高考水平训练]
1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝成立，则m等于( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C. 如图所示，
在△ABC中，由＋＋＝0易知M是△ABC的重心，D是BC边的中点，∴＋＝2.又∵＝，∴＋＝2＝3，∴m＝3.故选C.
2．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则λ1λ2＝________．
解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ使得＝λ，则a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1，且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.
答案：1
3．两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
解：d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使d与c共线，则存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.
∴
解得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d与c共线．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M、N、C三点共线．
证明：∵＝－，
＝，＝＝(＋)，
∴＝＋－＝－，①
＝－＝－.②
由①、②可知＝3，即∥，
又∵MC、MN有公共点M，
∴M、N、C三点共线．
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