资源描述
2022～2021学年度第一学期期中考试
高三数学试题
(考试时间：120分钟 总分160分)
命题人：王鸿、王光华 审题人：孟太、朱善宏
留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合，则 ▲ ．
2．已知角的终边经过点，则的值是 ▲ ．
3. 若等差数列的前5项和，且，则 ▲ ．
4．曲线在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
5．将函数的图象上每一点向右平移个单位，得函数的图象，则= ▲ ．
6．在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点， 则线段的长度为 ▲ .
7. 不等式的解集为 ▲ .
8. 已知，且，则的值为 ▲ ．
9. 在中，“”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
10．如图，已知正方形的边长为3，为的中点，
与交于点，则 ▲ ．
11．设，已知在约束条件下，目标函数
的最大值为，则实数的值为 ▲ . （第10题图）
12．已知等比数列的首项，其前四项恰是方程 的四个根，则 ▲ .
13．已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 ▲ ．
14. 已知两条平行直线 ：和：（这里），且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B ，直线与函数的图像从左至右相交于C、D．若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值．
16．设，函数．
（Ⅰ）已知是的导函数，且为奇函数，求的值；
（Ⅱ）若函数在处取得微小值，求函数的单调递增区间。
A
B
C
D
E
F
M
N
G
第17题
17．某小区想利用一矩形空地建筑市民健身广场，设计时打算保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证平安同时考虑美观，健身广场四周预备加设一个疼惜栏．设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场．
（Ⅰ）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；
（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．
18. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．
（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；
（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出全部的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段长度的最小值．
19.若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；
（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．
①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列的前项和为，试争辩：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，恳求出的值；若不存在，请说明理由．
20. 已知函数，其中
（Ⅰ）若，试推断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）设函数，若对任意的，总存在唯一的实数，使得成立，试确定实数的取值范围.
高三数学期中试题（老师版）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，则 ▲ ．
答案：
2．已知角的终边经过点，则的值是 ▲ ．
答案：
3. 若等差数列的前5项和，且，则 ▲ ．
答案：13
4．曲线在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
答案：
5．将函数的图象上每一点向右平移个单位，得函数的图象，则= ▲ ．
答案：
6．在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点， 则线段的长度为 ▲ .
答案：4
7. 不等式的解集为 ▲ .
答案：
8.已知，且，则的值为 ▲ ．
答案：
9. 在中，“”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
答案：必要不充分
10．如图，已知正方形的边长为3，为的中点，
与交于点，则 ▲ ．
答案：
（第10题图）
11．设，已知在约束条件下，目标函数的最大值为，则实数的值为 ▲ .
答案：
12．已知等比数列的首项，其前四项恰是方程的四个根，则 ▲ .
答案：
13．已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 ▲ ．
答案：
14. 已知两条平行直线 ：和：（这里），且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B ，直线与函数的图像从左至右相交于C、D．若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，的最小值为 ▲ ．
答案：32
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值．
解：（Ⅰ）由于，
由正弦定理得，所以 ……………………………4分
（Ⅱ）由于，，所以，
所以，
由余弦定理得，所以．……………………………8分
所以
即 ……………………………14分
16．设，函数．
（Ⅰ）已知是的导函数，且为奇函数，求的值；
（Ⅱ）若函数在处取得微小值，求函数的单调递增区间。
解：（Ⅰ）， ……………………………2分
故 ，
为奇函数，
，即
； ……………………………6分
（Ⅱ）
列表如下：
……………………………9分
在处取得微小值，在处取得极大值，
由题设，； ……………………………12分
所以函数的递增区间为 ……………………………14分
A
B
C
D
E
F
M
N
G
第17题
17．某小区想利用一矩形空地建筑市民健身广场，设计时打算保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证平安同时考虑美观，健身广场四周预备加设一个疼惜栏．设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场．
（Ⅰ）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；
（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．
解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足为H，
由于，所以，
由于
所以，所以 ………………2分
过作交于T，则
，
所以
………………………7分
由于与重合时，适合条件，故,…………………………8分
（Ⅱ），…………………10分
所以当且仅当，即时，取得最大值2000， ……13分
答：当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为．…………14分
18. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．
（Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；
（Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出全部的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段长度的最小值．
解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），
由于PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,
所以MP＝，解得
所以 ……………………………4分
（Ⅱ）设P（2b，b），由于∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，
其方程为：
即
由， ……………………………7分
解得或，所以圆过定点 ……………………9分
（Ⅲ）由于圆方程为
即 ……①
圆：，即 ……②
②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：
……………………………11分
点M到直线AB的距离 ……………………………13分
相交弦长即：
当时，AB有最小值 ……………………………16分
19.若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；
（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．
①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列的前项和为，试争辩：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，恳求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）易得数列
前项之和 ……………………………4分
（Ⅱ）①（）（A）
（B）
（B）（A）得（）．
所以，为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分
当为偶数时，，
当为奇数时，；
……………………………8分
②当为偶数时，；
当为奇数时，
． ……………………………12分
故当时，，，，
由，则，解得．
所以存在实数，使得成等比数列（）
……………………………16分
20. 已知函数，其中
（Ⅰ）若，试推断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）设函数，若对任意大于等于2的实数，总存在唯一的小于2的实数，使得成立，试确定实数的取值范围.
解：（Ⅰ）为减函数。理由如下：
由于，
由于，且，
所以，从而函数为减函数。
（亦可先分别用定义法或导数法论证函数和在上单调递减，再得函数为单调减函数。） ……………………………5分
（Ⅱ）①若时，；
时。
所以不成立. ……………………………7分
②若时，，所以在单调递减.
从而，
即. ……………………………9分
(a)若时，.
所以在上单调递增，从而，即.
要使成立，只需，即成马上可.
由于函数在上单调递增，且，所以.
……………………………11分
(b)若时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
从而，即. ……………………………13分
要使成立，只需成立，即成马上可.
由，得.
故当时，恒成立.
综上所述，. ……………………………16分
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