资源描述
[学业水平训练]
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
解析：选D.F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝(1，2)．
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：选D.∵∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
3．已知A、B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则·等于( )
A．－ B.
C．0 D.
解析：选A.由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°.所以·＝·cos 120°＝－.
4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
解析：选D.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及余弦定理，得|F3|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|·cos(180°－60°)＝22＋42－2×2×4×(－)＝28，∴|F3|＝2 N.
5. 如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A．300 N，300 N
B．150 N，150 N
C．300 N，300 N
D．300 N，300 N
解析：选C.作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
在▱OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，
∠OAC＝90°，
||＝||cos 30°＝300 N，
||＝||sin 30°＝300 N，
||＝||＝300 N.
6．已知力F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则力F对物体所做的功是________．
解析：∵＝(－4，3)，
∴W＝F·s＝F·＝(2，3)·(－4，3)＝－8＋9＝1.
答案：1
7．已知O(0，0)，A(6，3)，若点P在直线OA上，且＝2，P是线段OB的中点，则点B的坐标是________．
解析：设P(x，y)，
则＝(6－x，3－y)．
∵＝2，∴(6－x，3－y)＝2(x，y)，
∴x＝2，y＝1.∴点B的坐标为(4，2)．
答案：(4，2)
8．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的外形是________．
解析：∵·＝4×4·cos A＝8，
∴cos A＝，∴∠A＝，
∴△ABC是正三角形．
答案：正三角形
9. 已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，
所以四边形DEBF是平行四边形．
10. 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(取重力加速度大小为10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则：
F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2.
则|f1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)．
所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．
因此f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J.
[高考水平训练]
1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的外形确定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(＋)·＝||2，
得(＋)·－2＝0，
所以·(＋－)＝0，
所以·(＋＋)＝0，
即·(＋＋)＝0，
所以2·＝0，
所以⊥，所以∠A＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
2．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________．
解析：由F1＋F2＋F3＝0，
解得F1＋F2＝－F3，∴(－F3)2＝(F1＋F2)2.
化简，可得F＝F＋F＋2F1·F2.
∵|F1|＝|F2|＝|F3|＝1.
∴2F1·F2＝－1.
∴|F1－F2|＝
＝
＝＝.
答案：
3．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．
解：如图所示，设A在东西基线和南北基线的交点处．
依题意，的方向是北偏西60°，||＝1 000 km；的方向是南偏西60°，||＝2 000 km，
所以∠BAC＝60°.
过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形．
所以BD＝CD＝1 000 km，
∠CBD＝∠BCD＝∠BDA＝30°，
所以∠ABC＝90°.
BC＝ACsin 60°＝2 000×＝1 000(km)，
||＝1 000(km)．
所以飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°.
4. 如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：
E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0)．
(1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1，1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1，0)－(0，)＝(1，－)．
∵＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，
∴D，M，B三点共线．
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