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单元评估检测(二)
其次章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·信阳模拟)下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的
是( )
A.y=sinx B.y=-x2+1x
C.y=x3+3x D.y=e|x|
【解析】选C.选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sinx在(0,+∞)上不是单调函数,故选C.
2.(2021·厦门模拟)已知函数f(x)=1x+1,则函数f(f(x))的定义域是( )
A.{x|x≠-1}
B.{x|x≠-2}
C.{x|x≠-1且x≠-2}
D.{x|x≠-1或x≠-2}
【解析】选C.由于f(f(x))=1f(x)+1=11x+1+1,
所以x+1≠0且1x+1+1≠0,即x≠-1且x≠-2.
3.(2021·日照模拟)函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根x=0,则f(-1)f(1)的值( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.与0的大小关系无法确定
【解析】选D.由于函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根x=0,可得图象:
因此f(-1)f(1)的值与0的大小关系不确定.故选D.
4.函数y=esinx(-π≤x≤π)的大致图象为( )
【解析】选D.取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排解A,C;
当0<x<π2时,y=sinx是增函数,y=ex也是增函数,故y=esinx也是增函数,故选D.
【加固训练】函数f(x)=lnx-12x2的图象大致是( )
【解析】选B.函数的定义域为{x|x>0},函数的导数f′(x)=1x-x=1-x2x,由
f′(x)=1-x2x>0得,0<x<1,即增区间为(0,1).由f′(x)=1-x2x<0得,x>1,即减区间为(1,+∞),所以当x=1时,函数取得极大值,且f(1)=-12<0,所以选B.
5.(2021·临沂模拟)若a=log23,b=log32,c=esinπ,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a
【解析】选D.a=log23>log22=1,
b=log32<log33=1,
c=esinπ=e0=1,
所以a>c>b.
6.已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]
【解析】选D.由于f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,
所以a-3<0,2a>0,(a-3)×1+5≥2a1,解得0<a≤2.
【加固训练】若f(x)=ax2+1,x≥0,(a2-1)eax,x<0(a≠1),在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是( )
A.(1,2]
B.[-2,-1)∪[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪(1,2]
D.0,23∪[2,+∞)
【解析】选C.f(x)在定义域(-∞,+∞)上是单调函数时,
(1)函数的单调性是增函数时,可得当x=0时,(a2-1)eax≤ax2+1=1,即a2-1≤1,解得-2≤a≤2,
由于x≥0时,y=ax2+1是增函数,所以a>0,
又由于x<0时,(a2-1)eax是增函数,所以a2-1>0,得a<-1或a>1,
因此,实数a的取值范围是:1<a≤2.
(2)函数的单调性是减函数时,可得当x=0时,(a2-1)eax≥ax2+1=1,即a2-1≥1,解得a≤-2或a≥2.
由于x≥0时,y=ax2+1是减函数,所以a<0,
又由于x<0时,(a2-1)eax是减函数,所以a2-1>0,得a<-1或a>1,
因此,实数a的取值范围是:a≤-2,
综上所述,得a∈(-∞,-2]∪(1,2],故选C.
7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,
则( )
A.f(2)<f(5)<f(8) B.f(5)<f(8)<f(2)
C.f(5)<f(2)<f(8) D.f(8)<f(2)<f(5)
【解题提示】利用奇偶性、周期性将待比较函数值调整到同一个单调区间上,再比较大小.
【解析】选B.由于f(x-4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),
所以函数f(x)是周期函数,且周期为8,
所以f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),
由于奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,
所以函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数,
又由于-2<-1<0<2,所以f(5)<f(8)<f(2).
8.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f′(x)为导函数,且导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是( )
A.(-2,0)
B.(-2,4)
C.(0,4)
D.(-∞,-2)∪(4,+∞)
【解析】选B.由f′(x)的图象知,当x<0时,f′ (x)<0,函数y=f(x)是减函数,当x>0时,f′(x)>0,函数y=f(x)是增函数,且f(4)=f(-2)=1,从而f(x)<1的解集是(-2,4).
9.(2021·合肥模拟)若定义在R上的函数y=f(x)满足f52+x=f52-x,且x-52f′(x)>0,则“对于任意的x1< x2,都有f(x1)>f(x2)”是“x1+x2>5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由于f52+x=f52-x,所以f(x)=f(5-x),
即函数y=f(x)的图象关于直线x=52对称,又由于x-52f′(x)>0,
故函数y=f(x)在52,+∞上是增函数,
再由对称性可得,函数y=f(x)在-∞,52上是减函数.
由于对于任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2),故x1和x2在区间-∞,52上,
所以x1+x2<5,反之,若x1+x2<5,则有x2-52<52-x1,
故x1离对称轴较远,x2离对称轴较近,
由函数的图象的对称性和单调性,可得f(x1)>f(x2).
综上可得,“任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的充要条件,故选C.
10.(2021·忻州模拟)设函数f(x)=log3x+2x-a在(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,log32) B.(log32,1)
C.(-1,-log32) D.(1,log34)
【解析】选B.f(x)=log3x+2x-a=log31+2x-a,则函数f(x)在(1,2)上是减函数,从而f(1)=log33-a>0,f(2)=log32-a<0,解得log32<a<1.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是 .
【解析】y=x2-3x-4=x-322-254.当x=0或x=3时,y=-4,所以32≤m≤3.
答案:32,3
12.已知曲线f(x)=lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为 .
【解析】函数的导数为f′(x)=1x,
所以切线斜率为k=f′(x0)=1x0,
所以切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),
由于切线过点(0,1),
所以代入切线方程得lnx0=2,解得x0=e2.
答案:e2
13.(2021·淄博模拟)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是 .
【解析】由log2x>0得x>1,由log2x<0得0<x<1,
又函数f(x)为奇函数,则f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
14.(2021·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=12x-m.若∀x1∈[1,2],
∃x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是 .
【解题提示】依据f(x)min≥g(x)min求解.
【解析】∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],
使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+2x在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=12x-m在[-1,1]上的最小值,由于f′(x)=2x-2x2=2(x3-1)x2≥0在[1,2]上成立,且f′(1)=0,
所以f(x)=x2+2x在[1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=12+21=3.
由于g(x)=12x-m是单调递减函数,
所以g(x)min=g(1)=12-m,
所以12-m≤3,即m≥-52.
答案:-52,+∞
15.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)图象如图所示,对于满足0<x1<x2<1的任意x1,x2给出下列结论:
①f(x2)-f(x1)>x2-x1;
②x2f(x1)>x1f(x2);③f(x1)+f(x2)2<fx1+x22.
其中正确结论的序号是 .(把全部正确结论的序号都填写在横线上)
【解析】由f(x2)-f(x1)>x2-x1可得f(x2)-f(x1)x2-x1>1,即两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连线的斜率大于1,明显①不正确;由x2f(x1)>x1f(x2)得f(x1)x1>f(x2)x2,即表示两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小,可以看出结论②正确;结合函数图象,简洁推断③的结论是正确的.
答案:②③
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),19≤x≤9.
(1)若m=log3x,求m的取值范围.
(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值.
【解析】(1)由于19≤x≤9,m=log3x为增函数,
所以-2≤log3x≤2,即m的取值范围是[-2,2].
(2)由m=log3x得:f(x)=log3(9x)·log3(3x)
=(2+log3x)·(1+log3x)
=(2+m)·(1+m)=m+322-14,
又由于-2≤m≤2,所以当m=log3x=-32,
即x=39时f(x)取得最小值-14,
当m=log3x=2,即x=9时f(x)取得最大值12.
17.(12分)(2021·济南模拟)已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,当
x∈[-1,0]时,函数解析式为f(x)=14x-b2x(b∈R).
(1)求b的值,并求出f(x)在[0,1]上的解析式.
(2)求f(x)在[-1,1]上的值域.
【解析】(1)由于f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
所以f(0)=0,即f(0)=1-b,所以b=1.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],所以f(-x)=14-x-12-x=4x-2x,f(x)=2x-4x,
所以f(x)在[0,1]上的解析式为f(x)=2x-4x,
(2)当x∈[0,1]时,f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,
所以设t=2x(t>0),则g(t)=-t2+t,
由于x∈[0,1],则t∈[1,2],当t=1时,最大值为1-1=0,当t=2时,取最小值-2,
所以函数在[0,1]上取最小值-2,最大值为0,
由于f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,
所以函数在[-1,0]上取最小值0,最大值为2,
所以f(x)在[-1,1]上的值域为[-2,2].
18.(12分)(2021·漳州模拟)设函数f(x)=lnx+1x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)求函数f(x)在12,2上的最值.
【解析】(1)易知函数的定义域为{x|x>0},
又f′(x)=1x- 1x2=x-1x2,
所以f′(1)=0,又f(1)=1,
所以切线方程为y=1.
(2)由f′(x)=0,得x=1.
列表
x
12
12,1
1
(1,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
2-ln2
↘
微小值1
↗
12+ln2
所以函数的最小值是f(1)=1;
又f12-f(2)=32-ln4=12lne316>0,
所以函数的最大值是f12=2-ln2.
19.(12分)(2021·重庆模拟)如图,在半径为30cm的14圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=xcm,圆柱的体积为Vcm3.
(1)写出体积V关于x的函数解析式.
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?
【解题提示】(1)依据圆柱的体积公式求解.
(2)利用导数求解.
【解析】(1)连接OB,由于AB=xcm,
所以OA=900-x2cm,
设圆柱的底面半径为rcm,则900-x2=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π·900-x24π2·x=900x-x34π,其中0<x<30.
(2)由(1)知V=900x-x34π(0<x<30),则V′=900-3x24π.
由V′=900-3x24π=0,得x=103,
因此V=900x-x34π在(0,103)上是增函数,
在(103,30)上是减函数.所以当x=103时,V有最大值.
20.(13分)(2021·淮北模拟)已知函数f(x)=exx的定义域为(0,+∞).
(1)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值.
(2)对∀x∈(0,+∞),不等式xf(x)>-x2+λx-1恒成立,求λ的取值范围.
【解析】f′(x)=xex-exx2,令f′(x)>0得x>1;
令f′(x)<0得0<x<1,
所以,函数f(x)在(0,1)上是减函数;在(1,+∞)上是增函数.
(1)当m≥1时,函数f(x)在[m,m+1](m>0)上是增函数,所以,f(x)min=f(m)=emm,
当0<m<1时,函数f(x)在[m,1]上是减函数;
在[1,m+1]上是增函数,
所以,f(x)min=f(1)=e.
(2)由题意,对∀x∈(0,+∞),不等式ex+x2+1>λx恒成立,即exx+x+1x>λ恒成立,
令g(x)=exx+x+1x,则g′(x)=(ex+x+1)(x-1)x2,
由g′(x)>0得,x>1;
由g′(x)<0得,0<x<1.
所以g(x)min=g(1)=e+2,所以λ<e+2.
21.(14分)设函数f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
(3)已知函数f(x)由三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1<x2,若对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=1时,f(x)=-13x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1
=-[x-(1-m)][x-(1+m)],
令f′(x)=0,得
x1=1-m,x2=1+m,故1+m>1-m,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
单调递减
微小值
单调递增
极大值
单调递减
所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)上是减函数,
在(1-m,1+m)上是增函数,
于是函数f(x)在x=1-m处取得微小值f(1-m)=-23m3+m2-13;
在x=1+m处取得极大值f(1+m)=23m3+m2-13.
(3)由题设知f(x)=-x13x2-x-m2+1
=-13x(x-x1)(x-x2),
所以方程13x2-x-m2+1=0有两个相异的非零实根x1,x2,故由根与系数的关系得x1+x2=3且Δ=1+43(m2-1)>0,
解得m>12或m<-12(舍去),
由于x1<x2,所以2x2>x1+x2=3⇒x2>32>1,
若x1<1<x2,则f(1)=-13(1-x1)(1-x2)>0,而f(x1)=0,不合题意,
若1≤x1<x2,则对∀x∈[x1,x2],
有x>0,x-x1≥0,x-x2≤0,
所以f(x)=-13x(x-x1)(x-x2)≥0.
又f(x1)=0,故f(x)在[x1,x2]上的最小值为0,
于是对∀x∈[x1,x2],
f(x)>0的充要条件是f(1)=m2-13<0
⇒-33<m<33,
综上,实数m的取值范围是12,33.
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