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开卷速查(七) 二次函数与幂函数
A级 基础巩固练
1．函数y＝x－x的图像大致为( )
A
B
C
D
解析：函数y＝x－x为奇函数．排解C、D；当x＞0时，由x－x＞0，即x3＞x可得x2＞1，即x＞1，结合选项，选A.
答案：A
2．幂函数y＝x (m∈Z)的图像如图所示，则m的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：∵y＝x (m∈Z)的图像与坐标轴没有交点，
∴m2－4m＜0，即0＜m＜4.
又∵函数的图像关于y轴对称，且m∈Z，
∴m2－4m为偶数，因此m＝2.
答案：C
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c且a＋b＋c＝0，那么它的图像可能是( )
A
B
C
D
解析：∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0.∴图像开口向上与y轴交于负半轴．
答案：D
4．已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )
A．f(a)<f(b)<f<f
B．f<f<f(b)<f(a)
C．f(a)<f(b)<f<f
D．f<f(a)<f<f(b)
解析：由于函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<<，故f(a)<f(b)<f<f.
答案：C
5．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则( )
A．f(－3)<c<f
B．f<c<f(－3)
C．f<f(－3)<c
D．c<f<f(－3)
解析：由已知可得二次函数图像关于直线x＝1对称，则f(－3)＝f(5)，c＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)>f>f(2)＝f(0)＝c.
答案：D
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.
答案：C
7．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2为奇函数，则m＝__________.
解析：由f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2为幂函数得：
m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，
又由于该函数为奇函数，所以m＝3.
答案：3
8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.
解析：由f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－(2a＋ab)＝0，解得a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx2，与值域是(－∞，4]冲突，∴a≠0，b＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
9．二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是__________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x2－2|＜|1＋2x－x2－2|，即|2x2＋1|＜|x2－2x＋1|，∴2x2＋1＜x2－2x＋1，∴－2＜x＜0.
答案：(－2,0)
10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)若不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立，求c的取值范围．
解析：由题意，得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点，且a＜0，则
解得
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，y＝18；
当x＝1时，y＝12.
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g(x)在上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(1)≤0.
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
B级 力气提升练
11．已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,4)
解析：二次函数图像开口向上，对称轴为x＝，又x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋＞0恒成立，即f(x)最小值＞0.
①当≤－1，即a≤－2时，f(－1)＝1＋a＋＞0，解得a＞－，与a≤－2冲突；
②当≥1，即a≥2时，f(1)＝1－a＋＞0，
解得a＜2，与a≥2冲突；
③当－1＜＜1，即－2＜a＜2时，Δ＝(－a)2－4·＜0，解得0＜a＜2.
综上得实数a的取值范围是(0,2)．
答案：A
12．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
解析：当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1,3]，又对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，∴当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．当a＞0时，解得a≤.综上所述，实数a的取值范围是.
答案：
13．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a＞0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a＜0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
14．[2021·“江淮十校”联考]设二次函数f(x)＝x2－ax＋b，集合A＝{x|f(x)＝x}．
(1)若A＝{1,2}，求函数f(x)的解析式；
(2)若F(x)＝f(x)＋2－a－a2且f(1)＝0，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)由f(x)＝x，得x2－(a＋1)x＋b＝0.
∵A＝{x|f(x)＝x}＝{1,2}，
∴1,2是关于x的一元二次方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根．
∴⇒
∴f(x)＝x2－2x＋2.
(2)∵f(1)＝0，∴1－a＋b＝0，b＝a－1.
∴F(x)＝f(x)＋2－a－a2＝x2－ax＋(1－a2)．
①当Δ≤0，即(－a)2－4(1－a2)≤0，－≤a≤时，
应满足⇒－≤a≤0.
②当Δ＞0，即a＜－或a＞时，设方程F(x)＝0的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)．
若≥1，则x1≤0，即⇒a≥2；
若≤0，则x2≤0，即
⇒－1≤a＜－.
综上，实数a的取值范围是－1≤a≤0或a≥2.
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