资源描述
[学业水平训练]
1．若平面对量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )
A．(－3，6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6，3)
解析：选A.设b＝λ(1，－2)(λ＜0)，由|b|＝3可解出λ＝－3.故选A.
2．已知a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D.由已知得2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，从而a·(2a－b)＝(2，1)·(5，2－k)＝10＋2－k＝0，∴k＝12.
3．已知平面对量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝ ＝8.
4．(2021·高考湖北卷)已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.＝(2，1)，＝(5，5)，||＝5，故在方向上的投影为＝＝.
5．(2021·高考福建卷)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：选C.·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线相互垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5.
6．已知a＝(0，1)，b＝(1，1)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是________．
解析：由(a＋λb)⊥a，得(a＋λb)·a＝0，
即(λ，1＋λ)·(0，1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.
答案：－1
7．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________．
解析：法一：b＝a＋(－1，－1)＝(1，1)，则a·b＝6.
又|a|＝3，|b|＝，∴cos θ＝＝＝1.
法二：由已知得：b＝(1，1)．
又a＝(3，3)，∴a∥b，且同向．
故θ＝0°，cos θ＝1.
答案：1
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为________．
解析：a＋b＝(－1，－2)，|a|＝，设c＝(x，y)，
而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.
又∵a·c＝x＋2y，设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
答案：120°
9．已知向量a＝(4，3)，b＝(－1，2)，求：
(1)(a＋2b)·(a－b)．
(2)|a|2－4a·b.
解：(1)由于a＋2b＝(4，3)＋2(－1，2)＝(2，7)，
a－b＝(4，3)－(－1，2)＝(5，1)，
所以(a＋2b)·(a－b)＝(2，7)·(5，1)＝2×5＋7×1＝17.
(2)由于|a|2＝a·a＝(4，3)·(4，3)＝42＋32＝25，a·b＝(4，3)·(－1，2)＝4×(－1)＋3×2＝2，
所以|a|2－4a·b＝25－4×2＝17.
10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)．
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ.
解：(1)∵A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
∴＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，
∴2＋＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，
∴|2＋|＝ ＝5.
(2)由(1)知＝(－1，1)，＝(1，5)，
∴cos θ＝＝.
[高考水平训练]
1．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，∴点P的坐标为(3，0)，故选C.
2．(2022·徐州高一检测)若a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
解析：由于a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)，
由于(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4，
故向量＝(－8，8)，||＝8.
答案：8
3．(2022·九江高一检测)设向量a＝(，－1)，b＝(，)，k，t是两个不同时为零的实数．若向量x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直．
(1)求k关于t的函数关系式．
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
解：(1)由于a＝(，－1)，b＝(，)，
所以a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1.
又x⊥y，所以x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
由于|a|＝2，|b|＝1，a·b＝0，
所以－4k＋t2－3t＝0，即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－，
即函数的最小值为－.
4．已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解：设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，即与共线，
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，
即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，
∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0，②
由①②可得
∴||＝＝，
即||＝，点D的坐标为(1，1)．
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