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2022—2021学年度第一学期高三级期中联考 数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
2.已知点在第三象限，则角的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 其次象限 C.第三象限 D.第四象限
3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B. C． D．
4.已知函数，则实数的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5． 下列函数中，周期为，且在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，,记，
，则=（ ）.
A． B． C． D．
7.设是直线,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 B．若⊥,则
C．若,⊥,则 D．若, ,则⊥
8.若实数满足条件，则的最大值是 ( )
A.8 B.2 C.4 D.7
9. 若0≤x≤2，则f(x)=的最大值( )
A． B．2 C． D．
10．定义在R上的函数，若对任意，都有，
则称f(x)为“函数”，给出下列函数：
①；②；③；④其中是“函数”的个数为（ ）.
A． B． C． D．
二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11.中，角的对边分别为，且,则的面积为 .
12. 若，则的值为____________
13. 已知函数，(a>0)，若，，使得，则实数的取值范围是 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若,则
圆的面积为 .
15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分12分）
已知向量与
（Ⅰ）若与相互垂直，求的值
（Ⅱ）若，求的值
17．(本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围
成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
18. (本小题满分14分）
已知
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）把图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上全部点向左平行移动个单位长度，得到的图像，求函数的解析式；
（Ⅲ）在上最大值与最小值之和为，求的值.
19.（本小题满分14分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD 平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;
（Ⅲ）若，试求的值．
20.（本小题满分14分）
已知函数
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若函数在不单调，求实数的取值范围；
（3）推断过点可作曲线多少条切线，并说明理由．
21．(本小题满分14分)
已知函数，其中常数.
(1) 求的单调增区间与单调减区间；
（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数.
期中考数学（文科）参考答案及评分标准
17. 解：(1)方法一：∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴解得 …………4分
即＝(2，2)，故||＝2. …………6分
方法二：∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2，2)，…………4分
∴||＝2. …………6分
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴ …………8分
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，
故m－n的最大值为1. …………12分
18. 解：（Ⅰ）
+a
…………4分
的最小正周期 …………6分
（Ⅱ）
所以函数 …………10分
（Ⅲ）
，
即 …………14分
19. （Ⅰ） 证明：由E是AD的中点， PA=PD，所以AD⊥PE； ………2分
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60
所以AB=BD，又由于E是AD的中点 ，
所以AD⊥BE， ………4分
又PE∩BE=E 所以AD⊥平面PBE. ………… 5分
（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；由于O是AC的中点，
Q是PC的中点，所以OQ//PA， ………………8分
又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA//平面BDQ. ……………… 9分
（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为.
所以， , ………………10分
又由于，且底面积， ………………12分
所以. ……… 14分
20.【解析】
（1）∵，，，
∴ ……………………………………1分
∵ ∴ ∴ ……………………2分
∴ ，明显在四周符号不同，
∴ 是函数的一个极值点 ………………………………………3分
∴ 即为所求 ………………………………………………………4分
（2）∵，，，
若函数在不单调，
则应有二不等根 …………………………5分
∴ ∴ ……………………………7分
∴ ………………………………… ……………8分
（3）∵，∴，
∴，设切点，
则纵坐标，又，
∴ 切线的斜率为，得 ……10分
设，∴
由0，得或，
∴在上为增函数，在上为减函数，
∴ 函数的极大值点为，微小值点为，
∵ ∴ 函数有三个零点 ……………13分
∴ 方程有三个实根
∴ 过点可作曲线三条切线 ……………………………14分
21.解:（1）……………………………………1分
① 当时，，
函数为增函数. …………………………………………………………………3分
②当时，，
其中…………………………………4分
的取值变化状况如下表：
单调递增
极大值
单调递减
微小值
单调递增
………………………………………………………………………………………6分
综合①②知当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为与，
减区间为…………………7分
（2）由(1)知当时，无极值；…………………………………………………8分
当时，知
的极大值，的微小值，
故在上无零点. ………………………………………………………………10分
，又，
故函数有唯一零点，且.………………………………………11分
又，记，
则，
从而，…………………………………………13分
故的取值范围是不超过的最大整数 ………………………14分
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