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高考压轴大题突破练
高考压轴大题突破练(一)
——直线与圆锥曲线(1)
(推举时间：70分钟)
1．(2022·课标全国Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解 (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时，不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
由于t＋≥4，当且仅当t＝2，
即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
2．(2022·陕西)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
解 (1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，
且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左，右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1，
得a＝2.∴a＝2，b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，
整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xp，yp)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由根与系数的关系，得xp＝，
从而yp＝，
∴点P的坐标为(，)．
同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0.
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，
解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意．
∴直线l的方程为y＝－(x－1)，
即直线l的方程为y＝－x＋.
3．已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解 (1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)．
(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.
(3)存在，联立方程
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.
设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)
∵P是线段AB的中点，∴P(，)，
即P(，yP)，∴Q(，)．
得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，
则·＝0，
即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，
结合(*)化简得－－＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点.
(1)解 由已知，可得b＝2，a2＝(b)2＝8，
所求椭圆方程为＋＝1.
(2)证明 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
若直线AB的斜率存在，设方程为y＝kx＋m，
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由k1＋k2＝8，得＋＝8，
所以＋＝8，
即2k＋(m－2)·＝8.
所以k－＝4，整理得m＝k－2.
故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，
即y＝k－2.
所以直线AB过定点.
若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝x0，
设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
由已知＋＝8，得x0＝－.
此时AB的方程为x＝－，明显过点.
综上，直线AB过定点.
5．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
解 (1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)，
由题设＝3，解得a2＝3.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
P为弦MN的中点，
由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0
⇒m2<3k2＋1.①
∴xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝＝－，
又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1.②
把②代入①，得m2<2m，解得0<m<2；
由②，得k2＝>0，解得m>.
综上求得m的取值范围是<m<2.
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