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第1讲 坐标系
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一、填空题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)．
①；②；③(1,0)；④(1，π)
解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由
得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，
化为极坐标为.
答案 ②
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)．
①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．
解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
答案 ③
3．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．
解析 点化为直角坐标为(1，)，方程ρ＝2cos θ化为一般方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，)到圆心(1,0)的距离为.
答案
4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.
答案
5．(2021·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为
＝2.
答案 2
6．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．
解析 由ρ＝6cos θ－2sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.
答案 ρcos θ＝3
7．(2022·华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.
答案 2
8．(2022·天津卷)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
解析 ∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ
∴圆的方程为x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心C(0,2)．
直线方程ρsin θ＝a，化为直角坐标系方程为y＝a，
如图
由几何学问得BC＝2CD，∴2＝2(a－2)，
解之得a＝3.
答案 3
9．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．
解析 θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝.
答案
二、解答题
10．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为
ρ＝2cos θ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点，半径为的圆．
11．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解 (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.
法二 将x＝1代入
得ρcos θ＝1，从而ρ＝.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤θ≤.
12．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足＝2 O，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
解 (1)设P(x，y)，则由条件知M.
由于M点在C1上，所以
即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2.
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