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其次章 2.1 2.1.4 第1课时
一、选择题
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．7
[答案] C
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又f(－3)＝－f(3)＝－2，∴f(3)＝2，
∴f(3)＋f(0)＝2，故选C．
2．下面四个结论：①偶函数的图象确定与y轴相交；②奇函数的图象确定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数确定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 偶函数的图象关于y轴对称，但不愿定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不愿定经过原点，因此②不正确；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不愿定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区分在定义域，选A．
3．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是( )
A．2,1 B．1,2
C．0,2 D．0,1
[答案] B
[解析] 由题意，得
，∴.
4．(2022·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，①
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②
由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，
∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.
5．(2022·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)|g(x)|，
则F(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F(x)，
∴函数f(x)|g(x)|是奇函数．
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
[答案] D
[解析] 解法一：设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝x2＋2x(x<0)．
∴f(x)＝，
即f(x)＝，
∴f(x)＝|x|(|x|－2)．
解法二：只有D中的函数是R上的偶函数，故选D．
二、填空题
7．假如F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
[答案] 2x＋3
[解析] 设x<0，则－x>0，
∴F(－x)＝2(－x)－3，即F(－x)＝－2x－3，
又F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，
即F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
8．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.
[答案] 4
[解析] 本题考查二次函数、偶函数概念．
由f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数知其对称轴x＝－＝0，即a＝4.另外本题也可利用偶函数定义求解．
三、解答题
9．(2022～2021学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)推断函数f(x)的奇偶性．
[解析] (1)由已知得，解得.
∴f(x)＝x＋.
(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
10．推断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．
由于当x＝0时，f(0)＝2≠－f(0)，因此尽管x≠0时f(－x)＝－f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
一、选择题
1．如右图是偶函数y＝f(x)的局部图象，依据图象所给信息，下列结论正确的是( )
A．f(－2)－f(6)＝0 B．f(－2)－f(6)<0
C．f(－2)＋f(6)<0 D．f(－2)－f(6)>0
[答案] B
[解析] 由图象可知，f(2)<f(6)，又∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(－2)－f(6)<0.
2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)<f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
[答案] A
[解析] ∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．
3．(2022～2021学年度山东烟台高一上学期期中测试)设f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式确定成立的是( )
A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)
C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)
[答案] D
[解析] ∵函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
又∵f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)，故选D．
4．(2022～2021学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于( )
A．－10 B．－18
C．－26 D．10
[答案] C
[解析] 解法一：f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8＝－(25＋23a＋2b)－8＝10，
∴25＋23a＋2b＝－18.
∴f(2)＝25＋23a＋2b－8＝－18－8＝－26.
解法二：明显f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，
f(－2)＋8＝－[f(2)＋8]，即18＝－f(2)－8.
∴f(2)＝－26.
二、填空题
5．假如奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上的最______值为________．
[答案] 大 －5
[解析] 由f(x)在[3,7]上是增函数可知，f(x)在[3,7]上的最小值为f(3)＝5，∵奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，
∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数，
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在[－7，－3]上的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－5.
6．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)
[答案] ≥
[解析] 由f(x)是偶函数可知f(－4)＝f(4)．
∵a2≥0，∴a2＋4≥4.
又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．
三、解答题
7．(2022～2021学年度青海师范高校附属其次中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．
[解析] (1)∵－3≤x≤3，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1,3]，单调递减区间为[－3，－1]，[0,1]．
8．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．
[解析] ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
在已知条件中，将x全部换成－x，
得f(－x)＋g(－x)＝(x2＋1)(－x＋1)，
即f(x)－g(x)＝(x2＋1)(－x＋1)．
由，
得f(x)＝x2＋1，g(x)＝x(x2＋1)．
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