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第八章 第4节
一、选择题
1．(2022·天津高考) 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l∶y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析] ∵＝2,0＝－2c＋10，∴c＝5，a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1. 故选A.
[答案] A
2．(2021·济南期末) 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与圆C∶x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝4，设双曲线的渐近线方程为y＝±kx，则＝2，解得k2＝，即＝，所以该双曲线的离心率e＝＝.故选C.
[答案] C
3．(2021·浙江温州适应性测试)已知F1，F2为双曲线Ax2－By2＝1的焦点，其顶点是线段F1F2的三等分点，则其渐近线的方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x 或y＝±x
[解析] 依题意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b2，
∴＝8，＝2，＝.故选D.
[答案] D
4．(2021·哈师大附中模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C.－＝1 D.－x2＝1
[解析] 椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，则解得m＝n＝2，故选C.
[答案] C
5．(2021·高考北京卷)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m＞ B．m≥1
C．m＞1 D．m＞2
[解析] 用m表示出双曲线的离心率，并依据离心率大于建立关于m的不等式求解．
∵双曲线x2－＝1的离心率e＝，
又∵e＞，∴＞，∴m＞1.
[答案] C
6．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则的最小值为( )
A. B.
C．2 D．1
[解析] 由于双曲线的离心率为2，所以＝2，
即c＝2a，c2＝4a2.
又由于c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4a2，即b＝a，
因此＝＝a＋≥2＝，当且仅当a＝时等号成立．即的最小值为.故选A.
[答案] A
7．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，则·＝0，则||＋||＝( )
A. B．2
C. D．2
[解析] ∵·＝0，∴⊥，
∴||2＋||2＝40，又|||－|||＝2a＝2，
∴|||－|||2＝||2＋||2－2||×||＝4，∴||×||＝18，|||＋|||2＝||2＋||2＋2||×||＝76，∴||＋||＝2.
[答案] D
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.
[答案] D
9．已知点F是双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2，＋∞)
[解析] 依据双曲线的对称性，若△ABE是钝角三角形，则只要0＜∠BAE＜即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|＞|EF|就能使∠BAE＜，故＞a＋c，即b2＞a2＋ac，即c2－ac－2a2＞0，即e2－e－2＞0，得e＞2或e＜－1，又e＞1，故e＞2.故选D.
[答案] D
10．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1 (a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
[解析] 由a2＋1＝4，得a＝，则双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)，则－y＝1，即y＝－1.
·＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1
＝2－，∵x0≥，
故·的取值范围是[3＋2，＋∞)，故选B.
[答案] B
11．(2021·福建南平质检)已知双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，则∠AFB等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[解析] 连接OA，在Rt△AFO中，sin∠AFO＝＝，则∠AFO＝30°，故∠AFB＝60°.
[答案] B
二、填空题
12．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
[解析] 由题意知a2＝1，b2＝－，则a＝1，b＝.
∴ ＝2，解得m＝－.
[答案] －
13．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
[解析] 如图，∠B1F1B2＝60°，
则c＝b，即c2＝3b2，
由c2＝3(c2－a2)，
得＝，则e＝.
[答案]
14．(2022·山东高考) 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
[解析] 由题意可知，抛物线的焦点F为，准线方程为y＝－.
由于|FA|＝c，所以2＋a2＝c2，
即2＝b2.联立消去y，
得x＝± ，即x＝±a.
又由于双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c，所以2a＝2c，即a＝c，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
[答案] y＝±x
15．已知双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
[解析] 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
[答案]
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