2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第四节直线与圆锥曲线的位置关系.docx

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课时提升作业(四十一)
一、选择题
1.(2021·北海模拟)已知抛物线的方程为y2=4x,过焦点的弦PQ的长为8,则PQ的中点M到抛物线准线的距离为(　　)
(A)4 (B)5 (C)6 (D)8
2.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作始终线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,·的值等于(　　)
(A)0 (B)2 (C)4 (D)-2
3.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为(　　)
(A)±　 (B)±　 (C)±　 (D)±
4.已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
(A)(0,1) (B)(0,5)
(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)
5.(2021·玉林模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
6.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于
(　　)
(A)3 (B)4 (C)3 (D)4
二、填空题
7.已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆方程为　　　　.
8.(2021·柳州模拟)设双曲线-y2=1(a>0)与直线x-y=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则双曲线的离心率e=　　　　.
9.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为　　　.
三、解答题
10.(2021·玉林模拟)设双曲线C的焦点在y轴上,离心率为,其一个顶点的坐标是(0,1).
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线l与该双曲线交于A,B两点,且A,B的中点为(2,3),求直线l的方程.
11.(力气挑战题)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且相互垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.
12.(力气挑战题)椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,若S△ACD=S△PCD.
(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选A.结合抛物线定义可知弦PQ的中点到准线的距离等于P,Q两点到准线距离和的一半,PQ的中点M到抛物线准线的距离等于弦PQ长的一半即为4.
2.【思路点拨】数形结合利用椭圆的几何性质确定最值状况求解.
【解析】选D.易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大,
此时F1(-,0),F2(,0),不妨设P(0,1),
∴=(-,-1),=(,-1),
∴·=-2.
3.【解析】选D.由题意知焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在,且不为0,故可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x中化简得ky2-4y-4k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=　①,y1y2=-4　②,
又由=-4可得y1=-4y2　③,
联立①②③式解得k=±.
4.【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m≥1,又由于椭圆+=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,
+∞).
【误区警示】本题易误选D,根本缘由是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1≤m<5,而忽视其焦点可能在y轴上.
5.【解析】选A.由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
|PF1|=2|PF2|,得|PF1|=,|PF2|=,
∴2a=c,∴e==.
6.【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题.
【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,
得AB的中点M(-,-+b),
又M(-,-+b)在直线x+y=0上,可求出b=1,
则|AB|=·=3.
7.【解析】∵椭圆+=1的右顶点为A(1,0),
∴b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,
即1=2|x|=2b==,a=2,则椭圆方程为+x2=1.
答案:+x2=1
8.【解析】联立直线与双曲线方程易解得A点(在右支上的交点)的坐标(x1,y1)满足:==,由题意可得OA=2=⇒=8,解得a2=,故c2=,故e=.
答案:
9.【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最终数形结合求解.
【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使
△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.
答案:4
10.【解析】(1)由已知得a=1,=,
又c2=a2+b2,∴c=,b=1,
∴双曲线C的标准方程为y2-x2=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则化简得:6(y1-y2)-4(x1-x2)=0,
∴=,∴直线l的方程为2x-3y+5=0.
11.【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,
当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为
y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).
由,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.
由于l1⊥l2,所以l2的斜率为-.
设D(x3,y3),E(x4,y4),
则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=·+·=||·||+||·||
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1
=8+4(k2+)≥8+4×2=16.
故当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.
12.【思路点拨】(1)由S△ACD=S△PCD⇒AC=PC,即C为AP的中点且在椭圆上,据此可求出P点坐标.
(2)只需将F2(c,0)代入直线CD的方程,设法求a,c的比值即可.
【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2　①,
∵A(-a,0),B(a,0),
∴PA的中点为C(,),
点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得
b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2　②,
①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,
∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.
∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.
代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,
∴y>0,y=b,得P(2a,b).
(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).
代入椭圆方程:
b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,
∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.
2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.
∵x<a,∴x=,
从而y=(-)=-b,
得D(,-b).同理可得C(,b).
C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.
若CD过椭圆右焦点F2(c,0),∴c=,即a=2c,
从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c',
则c'2=a2+b2=a2,∴e'=.
于是直线CD可通过椭圆C1的右焦点,此时双曲线C2的离心率为e'=.

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