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2022高考数学(新课标人教版)一轮总复习练习:第8章-平面解析几何-第4节-双曲线.docx

1、 第八章 第4节 一、选择题 1.(2022·天津高考) 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l∶y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(   ) A.-=1      B.-=1 C.-=1 D.-=1 [解析]  ∵=2,0=-2c+10,∴c=5,a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为-=1. 故选A. [答案] A 2.(2021·济南期末) 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C∶x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线的离心率等于(   ) A. B. C. D. [解析] 依题意可知圆C

2、x-3)2+y2=4,设双曲线的渐近线方程为y=±kx,则=2,解得k2=,即=,所以该双曲线的离心率e==.故选C. [答案] C 3.(2021·浙江温州适应性测试)已知F1,F2为双曲线Ax2-By2=1的焦点,其顶点是线段F1F2的三等分点,则其渐近线的方程为(  ) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 或y=±x [解析] 依题意c=3a,∴c2=9a2.又c2=a2+b2, ∴=8,=2,=.故选D. [答案] D 4.(2021·哈师大附中模拟)与椭圆C:+=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为(   ) A.x

3、2-=1 B.y2-2x2=1 C.-=1 D.-x2=1 [解析] 椭圆+=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为-=1(m>0,n>0),则解得m=n=2,故选C. [答案] C 5.(2021·高考北京卷)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  ) A.m> B.m≥1 C.m>1 D.m>2 [解析] 用m表示出双曲线的离心率,并依据离心率大于建立关于m的不等式求解. ∵双曲线x2-=1的离心率e=, 又∵e>,∴>,∴m>1. [答案] C 6.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为(   ) A.

4、 B. C.2 D.1 [解析] 由于双曲线的离心率为2,所以=2, 即c=2a,c2=4a2. 又由于c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=a, 因此==a+≥2=,当且仅当a=时等号成立.即的最小值为.故选A. [答案] A 7.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,则·=0,则||+||=(  ) A. B.2 C. D.2 [解析] ∵·=0,∴⊥, ∴||2+||2=40,又|||-|||=2a=2, ∴|||-|||2=||2+||2-2||×||=4,∴||×||=18,|||+|||2=||2+||2

5、+2||×||=76,∴||+||=2. [答案] D 8.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(   ) A. B. C. D. [解析] 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为y=x,而kBF=-,∴·(-)=-1,整理得b2=ac.∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去),故选D. [答案] D 9.已知点F是双曲线-=1 (a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两

6、点,若△ABE是钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(   ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+) D.(2,+∞) [解析] 依据双曲线的对称性,若△ABE是钝角三角形,则只要0<∠BAE<即可.直线AB:x=-c,代入双曲线方程得y2=,取点A,则|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|>|EF|就能使∠BAE<,故>a+c,即b2>a2+ac,即c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,得e>2或e<-1,又e>1,故e>2.故选D. [答案] D 10.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1 (a>0)的中心和左焦点,点P为双曲

7、线右支上的任意一点,则·的取值范围为(   ) A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞) C. D. [解析] 由a2+1=4,得a=,则双曲线方程为-y2=1.设点P(x0,y0),则-y=1,即y=-1. ·=x0(x0+2)+y=x+2x0+-1 =2-,∵x0≥, 故·的取值范围是[3+2,+∞),故选B. [答案] B 11.(2021·福建南平质检)已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过双曲线Γ的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B,则∠AFB等于(  ) A.45° B.60° C.90° D.120° [

8、解析] 连接OA,在Rt△AFO中,sin∠AFO==,则∠AFO=30°,故∠AFB=60°. [答案] B 二、填空题 12.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=________. [解析] 由题意知a2=1,b2=-,则a=1,b=. ∴ =2,解得m=-. [答案] - 13.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为________. [解析] 如图,∠B1F1B2=60°, 则c=b,即c2=3b2, 由c2=3(c2-a2), 得=,则e=. [答案]  14.(2022·山东高考)

9、 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________. [解析] 由题意可知,抛物线的焦点F为,准线方程为y=-. 由于|FA|=c,所以2+a2=c2, 即2=b2.联立消去y, 得x=± ,即x=±a. 又由于双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c,所以2a=2c,即a=c,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x. [答案] y=±x 15.已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________. [解析] 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a. 在△PF1F2中,由余弦定理, 得cos∠F1PF2==-e2. 要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值, ∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=, 即e的最大值为. [答案] 

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