【KS5U发布】辽宁省大连市2020-2021学年高二上学期期末考试-数学(理)-Word版含答案.docx

2022～2021学年第一学期期末考试试卷
高二数学(理科)
命题人： 王 爽 孙 靓 万秀芝 校对人： 王 爽
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡和答题纸上，在本试卷上答题无效．
第I卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“”是“”的 （ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不必要也不充分条件
2.等差数列的前项和为，若，则的值为 ( )
A．30 B．45 C.90 D．180
3.已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于 （ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 10
4. 下列命题错误的是 （ ）
A．命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题
B．命题“R,”的否定是“R,”
C．且，都有
D．“若”的逆命题为真
5.如图1所示，在平行六面体中，若，， ，则下列向量中与相等的向量是 ( )

图1
A． B．

C． D．

6. 已知变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）
A.12 B.11 C.3 D.－１
7.设抛物线上一点到轴距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是 （ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
8. 双曲线的渐近线方程为 （ ）
A. B. C. D.
9.在如图2所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为 （ ）
图2

A. B.

C. D.

10.设，若是的等比中项，则的最小值为 （ ）
A. 8 B. 4 C. 1 D.
11. 若函数在 内单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
12. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是 （ ）
A. B． C． D．
第II卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13． .
14. 曲线在点处的切线方程为________________________.
15.等差数列、满足(N*)，且前项和分别为，
则的值为 .
16.直三棱柱中，， ，是的中点,则与所成角的余弦值为________________________.
三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知向量, .
(Ⅰ)若向量与向量相互平行，求实数的值；
(Ⅱ) 求由向量和向量所确定的平面的单位法向量.

18．(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）求在上的最大值和最小值．

19．(本小题满分12分)
已知动点到点的距离比它到直线的距离多1.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）求过点且倾斜角为的直线被曲线所截得线段的长度.

20．（本小题满分12分）
如图3所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且 ，，点是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
图3
（Ⅱ）求二面角的大小.

21．（本小题满分12分）
已知函数，(R).
（Ⅰ）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两点坐标分别为，若面积为，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值.

2022～2021学年第一学期期末考试答案
高二数学（理科）
1~12 CBCDD BBAAB CA
13. 2 14. 15. 16.
17.解：（1）

若与相互平行，则，故 5分
（2）设法向量，则，故
令，所以，即所求平面的一个法向量为，故单位法向量为或 10分
18.解：（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4 2分
令，则或，令，则，
所以增区间为，减区间为 6分
（2）令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，

[－3，－2)
-2

+
0
-
0
+

13

∴为极大值点，为微小值点，
又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为. 12分
19.解：（1）由题意易知，动点到点的距离与到直线的距离相等，故点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，此抛物线方程为 4分
（2） 设直线与抛物线交点为,直线方程为，
即 6分
将直线方程与抛物线方程联立，得，
故
12分
（其他方法请酌情给分）
20.解：∵平面，平面
∴，，且．
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系； 2分
（1）∵，∴，
∴，，
设平面的法向量为，
则，取，得．
又，所以
∵，∴，又平面，
因此：平面． 6分
（2）∵平面的一个法向量为，
由（1）知：平面的法向量为，
设二面角的平面角为（为钝角），则
，得：
所以二面角的大小为． 12分
（注：（1）问的证明用几何法亦可，但在（2）问中要体现平面法向量的求解过程）

21. 解：（Ⅰ）,.
由于函数是区间上的增函数，
所以，即在上恒成立.
由于是增函数，所以满足题意只需，即. 6分
（Ⅱ）
，即在上恒成立，即
构造函数，，则，易知，在上恒成立，，故. 12分
22. 解：(1)由题意，易知，
，椭圆方程为 4分
(2)设，当直线的斜率不存在时，轴，为等腰直角三角形，，又，解得，
即到直线的距离 6分
当直线的斜率存在时，直线的方程为,与椭圆联立消去得，

，

即
，
整理得
O到直线的距离 12分