1、20222021学年第一学期期末考试试卷高二数学(理科)命题人： 王 爽 孙 靓 万秀芝 校对人： 王 爽本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡和答题纸上，在本试卷上答题无效 第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1“”是“”的 （ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不必要也不充分条件2.等差数列的前项和为，若，则的值为 ( )A30 B45 C.90 D1803.已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于 （ ） A. 1
2、 B. 3 C. 6 D. 104. 下列命题错误的是 （ ） A命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题 B命题“R,”的否定是“R,”C且，都有D“若”的逆命题为真5.如图1所示，在平行六面体中，若， ，则下列向量中与相等的向量是 ( )图1A B C D6. 已知变量满足约束条件，则的最大值为 （ ） A.12 B.11 C.3 D.7.设抛物线上一点到轴距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是 （ ）A12 B8 C6 D48. 双曲线的渐近线方程为 （ ）A. B. C. D. 9.在如图2所示的空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点F的坐标为 （ ）
3、图2A. B. C. D. 10.设，若是的等比中项，则的最小值为 （ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 11. 若函数在 内单调递增，则的取值范围是( ) A B C D12. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是 （ ）A. B C D第II卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13 .14. 曲线在点处的切线方程为_.15.等差数列、满足(N*)，且前项和分别为， 则的值为 .16.直三棱柱中， ，是的中点,则与所成角的余弦值为_.三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满
4、分10分）已知向量, .()若向量与向量相互平行，求实数的值；() 求由向量和向量所确定的平面的单位法向量.18(本小题满分12分)已知函数. （）求的单调区间;（）求在上的最大值和最小值19(本小题满分12分)已知动点到点的距离比它到直线的距离多1.（）求动点的轨迹的方程；（）求过点且倾斜角为的直线被曲线所截得线段的长度.20（本小题满分12分）如图3所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且 ，点是的中点. （）求证：平面；图3 （）求二面角的大小.21（本小题满分12分）已知函数，(R). （）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（）若在时恒成立，求实数的取值范围.22.（本小题
5、满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两点坐标分别为，若面积为，.（）求椭圆的标准方程；（）过点作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值.20222021学年第一学期期末考试答案高二数学（理科）112 CBCDD BBAAB CA13. 2 14. 15. 16. 17.解：（1） 若与相互平行，则，故5分（2）设法向量，则，故令，所以，即所求平面的一个法向量为，故单位法向量为或10分18.解：（1）f(x)x32x24x5，f(x)3x24x42分令，则或，令，则，所以增区间为，减区间为6分（2）令f(x)0，得x2或x，3，2)-2+0-0+13为极大值
6、点，为微小值点，又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.12分19.解：（1）由题意易知，动点到点的距离与到直线的距离相等，故点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，此抛物线方程为4分（2） 设直线与抛物线交点为,直线方程为，即6分将直线方程与抛物线方程联立，得， 故12分（其他方法请酌情给分）20.解：平面，平面 ，且 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系； 2分 （1）， ， 设平面的法向量为，则，取，得又，所以 ，又平面，因此：平面6分 （2）平面的一个法向量为， 由（1）知：平面的法向量为， 设二面角的平面角为（为钝角），则，得： 所以二面角的大小为12分（注：（1）问的证明用几何法亦可，但在（2）问中要体现平面法向量的求解过程）21. 解：（）,. 由于函数是区间上的增函数， 所以，即在上恒成立.由于是增函数，所以满足题意只需，即.6分（），即在上恒成立，即构造函数，则，易知，在上恒成立，故.12分22. 解：(1)由题意，易知，椭圆方程为4分(2)设，当直线的斜率不存在时，轴，为等腰直角三角形，又，解得，即到直线的距离6分当直线的斜率存在时，直线的方程为,与椭圆联立消去得， ，即，整理得O到直线的距离12分
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