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宜昌市一中2022年秋季学期高二班级期中考试
数学（文）试题
命题：王健 审题：江 山
满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.通过随机抽样用样本估量总体，下列说法正确的是( ).
A．样本的结果就是总体的结果
B．样本容量越大，可能估量就越精确
C．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D．样本数据的中位数确定是总体数据中的中位数
2.过点且与直线垂直的直线方程是( )
A． B． C． D．
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
3.某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：由表中数据得线性回归方程中， 猜想当气温为时，用电量的度数约为（ ）
A．70 B．69 C．68 D．67
4.有关命题的说法中正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
B．命题“若，则”的形式是“若，则”；
C．若为真命题，则、至少有一个为真命题；
D．对于命题存在，使得，则对任意，均有
5.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
6.运行右图所示的程度框图，若输出结果为，则推断框中应当填的条件是（ ）
A. B. C. D.
7.用秦九韶算法计算多项式在当时的值，有如下的说法：①要用到6次乘法和6次加法；②要用到6次加法和8次乘法；③； ④，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
8.，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
9.某初级中学有同学人，其中一班级人，二、三班级各人，现要利用抽样方法抽取人参与某项调查，考虑选用简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简洁随机抽样和分层抽样时，将同学按一、二、三班级依次统一编号为；使用系统抽样时，将同学统一随机编号为，并将整个编号依次分为段，假如抽得号码有下列四种状况：
① 7，34， 61， 88，115，142，169，196, 223，250；
② 5， 9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38， 65， 92，119，146，173，200，227，254；
④30，57， 84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
10．观看下列事实：的不同整数解（,）的个数为， 的不同整数解（,）的个数为，的不同整数解（,）的个数为 ….则的不同整数解（,）的个数为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.
11.将二进制数转换成十进制形式是 .
12.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 .
13. 在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 .
14.已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 .
15. 在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 ．
16. 若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
17.对于任一实数序列，定义为序列，它的第项为，假设序列的全部项均为1，且，则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. （本小题满分12分）已知向量，，,其中.
（1）若,求；
（2）设函数是在方向上的投影,在给出的直角坐标系中，画出在上的图像.
19.（本小题满分12分）在等比数列中，，公比，且，又是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）宜昌市“天地杯”首届中学校生汉语言文化学问电视大赛中，我校经过预赛、复赛、决赛的一路打拼，最终荣获全市一等奖的优异成果。为选拔选手参与“汉语言文化学问电视大赛”，我校进行了一次“预选赛”活动.为了了解本次预选赛同学的成果状况，从中抽取了部分同学的分数（得分取正整数，满分为分）作为样本（样本容量为）进行统计.依据，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成果在分以上（含分）的同学中随机抽取名同学
参与“汉语言文化学问电视大赛”，求所抽取的名同学中至少有一人得分在内的概率．
5 1 2 3 4 5 6 7 8
6
7
8
9 3 4
21.（本小题满分14分）在棱长为4的正方体中，设是棱的中点.
⑴ 求证：；⑵ 求证：平面；
⑶．求三棱锥的体积。
22.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点为,离心率e=,是椭圆上的的动点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长交椭圆于点，证明：；
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