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第2讲 用样本估量总体
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2021·南通调研)抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
城市
空气质量指数(AQI)
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
甲
109
111
132
118
110
乙
110
111
115
132
112
则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填甲或乙)．
解析 甲、乙的平均数都是116，甲的方差为＝74，乙的方差为＝66.8，乙的方差较小，所以较为稳定的城市是乙．
答案 乙
2.(2022·临沂一模)某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参与数学竞赛，他们取得的成果(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班同学成果的众数是85，乙班同学成果的中位数是83，则x＋y的值为________．
解析 由茎叶图可知，甲班同学成果的众数是85，所以x＝5.乙班同学成果的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.
答案 8
3．(2022·泰州检测)如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为________．
解析 由题意得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，所以样本质量在[15,20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20.
答案 20
4．(2021·徐州检测)甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成果的茎叶图如图所示，则在这次测验中成果较好的是________组．
解析 由茎叶图可知甲组数据大多数集中在80四周，乙组数据大多数集中在70四周，所以甲＞乙．
答案 甲
5．(2021·南京、盐城模拟)若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2＝________.
解析 依题意得2＋3＋7＋8＋a＝5×5，解得a＝5，
因此该组数据的方差s2＝×(32×2＋22×2)＝.
答案
6．(2021·扬州调研)为了检测某自动包装流水线的生产状况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的质量(单位：克)作为样本．如图是样本的频率分布直方图，依据图中各组的组中值估量产品的平均质量是________克．
解析 依题意，可估量产品的平均质量是(490×0.01＋500×0.03＋510×0.04＋520×0.02)×10＝507克．
答案 507
7．(2021·沈阳监测)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试．现随机调查了24名笔试者的成果，如下表所示：
分数段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90]
人数
2
3
4
9
5
1
据此估量允许参与面试的分数线大约是________分．
解析 由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P＝＝，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×＝6，观看表格可知，分数在[80,85)有5人，分数在[85,90)的有1人，故面试的分数线大约为80分．
答案 80
8．(2021·银川检测)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.
解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数和为·n＝27，故n＝60.
答案 60
二、解答题
9．某校高一某班的某次数学测试成果(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：
(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．
解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.
由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.
10．(2022·北京卷)从某校随机抽取100名同学，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名同学，试估量这名同学该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估量样本中的100名同学该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)．
解 (1)依据频数分布表知，100名同学中一周课外阅读时间不少于12小时的同学共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的同学一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.故从该校随机选取一名同学，估量其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名同学该周课外阅读时间的平均数在第4组．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2021·宿迁摸底)一位篮球运动员在最近的8场竞赛中得分的茎叶图如图，则他在这8场竞赛中得分的方差是________．
解析 由茎叶图可知这名运动员在这8场竞赛中得分的平均数是14，所以方差为(36＋16＋4＋4＋16＋36)＝14.
答案 14
2．(2022·益阳模拟)为了了解某校九班级1 600名同学的体能状况，随机抽查了部分同学，测试1分钟仰卧起坐的成果(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，给出以下结论：①该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次；②该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次；③该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；④该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人．依据统计图的数据，可推断结论正确的是________(填序号)．
解析 由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估量该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九班级同学1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故④是错误的．
答案 ①②③
3．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．
解析 ∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1，
∴样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，
∴a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，∴a1＝，
∴小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝160.
答案 160
4．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)依据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解 (1)设A药观测数据的平均数为A，B药观测数据的平均数为B，
则A＝(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3.
B＝(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.则A>B，因此A药的疗效更好．
(2)由观测结果绘制如下茎叶图：
从茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上；B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上．
由上述可看出A药的疗效更好.
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