资源描述
点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列说法不正确的是( )
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形确定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线确定共面
C．过直线上一点可以作很多条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：选D A若一组对边平行就打算了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形确定是平行四边形，正确；B中同一平面的两条垂线相互平行，因而共面；C中这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可知D不正确．
2． 下列说法正确的是( )
A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．过一条直线的平面有很多多个
D．两个相交平面的交线是一条线段
解析：选C 当这两条直线异面时不能确定平面，A错误．两条直线异面，则不能确定平面，B错误．两个相交平面的交线是一条直线，D错误．
3.如图在四周体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点确定( )
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
解析：选A ∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，
∴M∈EF，M∈GH.
又∵EF⊂面ABD，GH⊂面BCD，∴M∈面ABD，M∈面BCD，又∵面ABD∩面BCD＝BD，∴M∈BD，故选A.
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：选B CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.
5．(2021·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题：
①若两个平面有很多个公共点，则这两个平面重合；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同始终线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
解析：选D ①错，两个平面相交时，也有很多个公共点．③错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，明显有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．
6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是直线AD1与EF所成的角．∵AB⊥AD1，
∴cos∠BD1A＝＝.
7．在四周体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 取AC的中点E，取CD的中点F，则EF＝，BE＝，
BF＝，∴△BEF为直角三角形，cos θ＝＝.
8．(2021·湖南师大附中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不愿定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四周体ABCD，则在四周体ABCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D 易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°.
又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，
而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度( )
A．13 B.
C．12 D．15
解析：选A 如图，连AD.
∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α.
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝.
在Rt△CAD中，CD＝ ＝ ＝13.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可)．
答案：BM⊥PC(其他合理即可)
12．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________．
解析：由平面BCC1B1⊥面ABCD
知MN⊥面ABCD.
∴MN⊥AB.
答案：垂直
13． 在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．
解析：取AC中点M，连接EM，FM，F为DC中点，M为AC中点，∴FM∥AD，且FM＝AD＝1，同理EM∥BC且EM＝BC＝1.
△EMF中作MN⊥EF于N.
Rt△MNE中，EM＝1，EN＝，
∴sin∠EMN＝，∠EMN＝60°，∴∠EMF＝120°，
∴AD与BC所成角为60°.
答案：60°
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE＝a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A—BD—C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
答案：①②
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2022·宁德高一检测)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，
(1)证明：CD⊥平面PAC；
(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.
证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，
∴CD⊥平面PAC.
(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，
∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝.
∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，
∴AD＝2.又E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴四边形ABCE是正方形，
∴CE∥AB.又AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
∴CE∥平面PAB.
16．(本小题满分12分)(2022·江西高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又由于EF＝5，所以可得EG⊥GF.又由于CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过点G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为S长方形DEFC·GO＝×4×5×＝16.
17．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
解：(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，
∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图所示，
作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝ ＝，
∴tan∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O.
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC⊂平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
18．(本小题满分14分)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD.
证明：(1)∵AB＝2AD，∠BAD＝60°，∴BD⊥AD.
又∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥DB.
又AD∥D1D＝D，∴BD⊥平面A1ADD1，
∴AA1⊥BD.
(2)如图，连接AC，A1C1，AC交BD于O点，连接A1O.
∵AB＝2AD，AD＝AB1，
∴A1B1＝AB.
∵四棱台底面ABCD是平行四边形，∴A1C1綊AC，∴A1C1綊OC.
∴四边形A1OCC1为平行四边形，∴C1C∥A1O，
又A1O⊂平面A1BD，C1C⊄平面A1BD，
∴CC1∥平面A1BD.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
