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桂林中学高三班级12月月考数学（理）卷
说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）
第Ⅰ卷 选择题
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．满足条件∪{1}={1，2，3}的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则z =（ ）
A． B． C． D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．已知x，y满足则2x－y的最大值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．在中，，，则（ ）
A．或 B． C． D．
7．函数（)的图象如图所示，则的值为（ ） A． B． C． D．
8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是( ） A. B. C. D.
9．设动直线与函数的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为( ) A. B. C. D.
10．已知中，平面内一点满足，若，则的值为 ( ) A．3 B． C．2 D．
11.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四周体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四周体S—ABC的体积为V，则R等于( )
A． B．
C． D．
12．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则（ ）
A.2 B. C. D.4
第II卷 非选择题
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．将名同学分到三个宿舍，每个宿舍至少人至多人，其中同学甲不到
宿舍的不同分法有 种.
14．已知 则 通项公式= ．
15．设的开放式中x3的系数为a，二项式系数为b，则 的值为 .
16．已知G为为重心，、、分别为、、所对的边，若，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(小题满分10分）已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）设函数
（1）求的最大值，并写出访取最大值时x的集合；
（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，
求a的最小值.
19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，是的中点，
A
B
C
O
A1
B1
C1
⊥平面，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20．（本题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况，随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，， ，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）依据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量；
（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列；
（3）从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．
21．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率，并且经过定点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左右顶点，为直线上的一动点(点不在x轴上），连交椭圆于点，连并延长交椭圆于点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．（本题满分12分）已知函数，其中.
（Ⅰ）若函数在其定义域内单调递减,求实数的取值范围;
（Ⅱ）若,且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.
2022-2021学年度12月月数学（理）答案
选择题：1. B 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.C 12.C
填空题：(13) (14) (15) 4 (16)
1．B【解析】满足条件的M中必需含有{2，3}，但最多只能有{1，2，3}
2．B【解析】由于
所以，
3．A【解析】该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，所以体积为.
4． B【解析】依据条件，画出可行域如图，可知当目标函数z＝2x－y经过点A（1，0）时取得最大值
最大值为2
x
－3
1
1
y
0
A
5．C【解析】依次执行程度框图中的语句：①：；②：；③：，跳出循环，故输出.
6．D【解析】依据题意,,,为锐角，,
7．D【解析】由已知，，所以，
将代人得，，所以，，
，故选.
8．D【解析】抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中的。所以，即。所以椭圆的离心率为，选D
9．A【解析】，令，当时，；当时，；当时，有微小值也有极大值，即故选A
10．C【解析】，同理可得，∴，即，选C．
11． C【解析】四周体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是，四个小三棱锥的体积和等于四周体的体积，因此，解得.
12． C【解析】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.由于，所以,且，设，则，依据三角形的相像性可得，即，解得，所以，即，所以，选C..
13． 【解析】第一步：先支配甲同学，他可以去B或C宿舍，共有种支配方法；其次步：若甲在B宿舍，B宿舍可以担忧排其他同学，那么其余人平均支配在A、C宿舍有；B宿舍也可再支配一个同学有种，其余人支配在A、C宿舍，其中一个人、一个人，有种，所以共有.综上两步有：种.
14．【解析】由于，，解得
当
，又由于
是首项为1，公差为1的等差数列，所以,所以．
15．【答案】4【解析】的开放式通项公式为
，令，得
，即即系数为,二项式系数为，则.
16．【解析】由于G为为重心，所以 所以，,又由于，所以
所以
所以，所以，
所以，由余弦定理： ，得： .
17．【解析】（1）设等比数列的公比为，有，
解得，所以；
（2）由（1）知，有，
从而.
18．【解析】（1）
3分
的最大值为 4分
要使取最大值，
故的集合为 6分
（2）由题意，，即
化简得 8分
，，只有， 9分
在中，由余弦定理， 10分
由知，即， 11分
当时，取最小值 12分
19．【解析】（Ⅰ）由于⊥平面，所以.又，
所以平面，所以.
由于，所以四边形是菱形，所以.
所以平面，所以． 5分
（Ⅱ）以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
，，
设是面的一个法向量，则，
即，令，取.
同理面的一个法向量为． 10分
由于.
所以二面角的余弦值． 12分
考点：1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角.
20．【解析】（1）依据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为
（件）． （2分）
（2）的可能取值为0,1,2. （3分）
（4分）
（5分）
（6分）
Y的分布列为
0
1
2
P
（3）利用样本估量总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3 （8分）
令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，
则， （10分）
故所求概率为 （12分）
21．【解析】（1）由题意：且，又
解得：，即：椭圆E的方程为 （1） 4分
（2）存在，。
设，又，则
故直线AP的方程为：，代入方程（1）并整理得：
。
由韦达定理：
即，
同理可解得：
故直线CD的方程为，即
直线CD恒过定点. 12分
. 12分
22．（Ⅰ）的定义域是，求导得
依题意在时恒成立，即在恒成立. 3分
这个不等式供应2种解法，供参考
解法一：由于，所以二次函数开口向下，对称轴，问题转化为, 所以，所以的取值范围是 6分
解法二，分别变量，得在恒成立，即
当时，取最小值，∴的取值范围是 6分
（Ⅱ）由题意，即，
设则列表：
极大值
¯
微小值
∴，，又 10分
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则， 得 （留意） 12分.
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