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模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知命题p：x∈R，x2＋6x＋7≥0，则p是______________________．
2．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k适合的条件是__________________．
3．平面内F1、F2是两不同定点，P是一动定点，则“PF1－PF2是定值”是“点P的轨迹是双曲线”的__________________条件．
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的中点为M(3，m)，则AB＝______.
5．已知下列命题(其中a，b为直线，α为平面)：
①若一条直线垂直于平面内很多条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线确定垂直于这个平面；
③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；
④若a⊥b，则过b有惟一α与a垂直．
上述四个命题中，是真命题的有________．(填序号)
6．若不等式≤a≤，在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是________．
7．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D与BD的中点，则EF与B1C所成的角是________．
8．点P是双曲线－y2＝1的右支上一点，点M、N分别是圆(x＋)2＋y2＝1和圆(x－)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值是________．
9．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
10．抛物线y2＝ax (a≠0)的准线与x轴交于点P，直线l经过点P，且与抛物线有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．
11．已知空间三点A(－1,2,4)、B(1，－4,2)、Q(x，－1，－1)，点P为线段AB的中点，若PQ⊥AB，则x＝________.
12．已知向量a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且向量a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．
13．若函数y＝lg(4－a·2x)在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
14．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1B1C1＝90°，且AB＝BC＝BB1，E、F分别是AB、CC1的中点，那么A1C与EF所成的角的余弦值为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设P：关于x的不等式2|x|<a的解集为，Q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.假如P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
16.
(14分)如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为点N.求线段QN的中点P的轨迹方程．
17．(14分)
如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．求二面角A—SC—B的余弦值．
18.(16分)已知椭圆＋＝1 (a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于两点P、Q，且OP⊥OQ (O为坐标原点)．
(1)求＋的值；
(2)若椭圆的离心率在上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．
19.(16分)
在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)求证：AB⊥平面VAD；
(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．
20．(16分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，x∈[－1,1]，使得f(x)＝0，求a的取值范围．
模块综合检测(C)
1．∃x∈R，x2＋6x＋7<0
2．－2<k<2或k>5
3．既不充分也不必要
4．8
解析 AB＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
5．③④
6.
解析 ∵＝t＋，t∈(0,2]．
∴0<≤.
∵＝t＋2＋－4，∴≥1.
综上≤a≤1.
7．90°
8．6
解析 设两圆(x＋)2＋y2＝1和(x－)2＋y2＝1的圆心分别为F1、F2，则PF1－PF2＝4，
∴(PM－PN)max＝4＋2＝6.
9.
解析
d1＋d2的最小值为抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)到直线3x－4y＋9＝0的距离＝.
10.∪
解析 P，设l的方程为y＝k，
代入y2＝ax，得k·－y＋k＝0.
由Δ＝1－4××k≥0，得k2≤1.
∴－1≤k≤1，∴直线l倾斜角的范围是
∪.
11．－4
解析 P(0，－1,3)，由·＝0，
得x＝－4.
12．(－∞，－4)
解析 由a·b<0，得3x＋4－2x<0，得x<－4，
阅历证，此时a，b不共线．
13．(－∞，2)
解析 由已知，4－a·2x>0在(－∞，1]上恒成立．
∴a<在(－∞，1]上恒成立，
又x≤1时，min＝2.
∴a<2.
14.
15．解 对于P：∵2|x|≥1，
又不等式2|x|<a的解集为∅，∴a≤1.
对于Q：ax2－x＋a>0恒成立．
①若a＝0，则－x>0(不符合，舍去)．
②若a≠0，则⇒a>.
∵P和Q有且仅有一个正确，
∴P真Q假或者P假Q真．
(ⅰ)若P真Q假，则a≤；
(ⅱ)若P假Q真，则a>1.
综上，所求a的取值范围为∪(1，＋∞)．
16．解 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，
即x－y＋y1－x1＝0.②
由①②联立解得③
又点Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x－y＝1.④
将③代入④，得动点P的轨迹方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
17.
解 以O为坐标原点，射线OB、OA、OS分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.设B(1,0,0)，
则C(－1,0,0)、A(0,1,0)、S(0,0,1)．
SC的中点M，
＝，＝，
＝(－1,0，－1)．
∴·＝0，·＝0.
故MO⊥SC，MA⊥SC，所以〈，〉等于二面角A—SC—B的平面角．
由于cos〈，〉＝＝，
所以二面角A—SC—B的余弦值为.
18．解 (1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
由
⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，
x1x2＋(－x1＋1)(－x2＋1)＝0，
2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
∴2·－＋1＝0.
即a2＋b2＝2a2b2.
∴＋＝2.
(2)由＋＝2，得b2＝.
由≤e≤，知≤e2≤.
∴≤≤.∴≤≤.
故≤≤.
∴≤a≤，从而≤2a≤，
故所求长轴长的取值范围是[，]．
19．(1)证明
取AD的中点O，则VO⊥底面ABCD.
建立如图所示空间直角坐标系，并设正方形边长为1，则
A、B、
C、D、V，
∴＝(0,1,0)，＝(－1,0,0)，
＝.
由·＝(0,1,0)·(－1,0,0)＝0
⇒⊥⇒AB⊥AD.
·＝(0,1,0)·＝0
⇒⊥⇒AB⊥AV.
又AD∩AV＝A，∴AB⊥平面VAD.
(2)解 由(1)得＝(0,1,0)是面VAD的法向量，设n＝(1，y，z)是面VDB的法向量，
则⇒
⇒
⇒n＝.
∴cos〈，n〉＝
＝－.
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角．
∴所求余弦值为.
20．解 当a＝0时，函数为f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．
当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种状况：
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：
或，
解得1≤a≤5或a＝.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时
，即.
解得a≥5或a<.
综上所述，假如函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为(－∞，]∪[1，＋∞)
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