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4.1.2 圆的一般方程
【课时目标】 1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简洁应用．4．初步把握点的轨迹方程的求法，并能简洁应用．
1．圆的一般方程的定义
(1)当________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为______________________．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点________________．
(3)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程推断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F________0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F________0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F________0
一、选择题
1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．和 B．(3,2)和
C．和 D．和
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是( )
A．<m<1 B．m>1
C．m< D．m<1
3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B． C．1 D．
5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O在( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
6．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
二、填空题
7．假如圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．
9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
三、解答题
10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？
11．假如方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求该圆半径r的取值范围．
力气提升
12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
13．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，留意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要依据实际状况，设出方程，以便简化解题过程．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简洁的了解，能够求出简洁的曲线的轨迹方程，并把握求轨迹方程的一般步骤．
4．1．2 圆的一般方程 答案
学问梳理
1．(1)D2＋E2－4F>0
(2)
(3)D2＋E2－4F<0
2．> ＝ <
作业设计
1．C [由一般方程圆心，半径r＝两公式易得答案．]
2．D [表示圆应满足D2＋E2－4F>0．]
3．B [过M最长的弦应为过M点的直径所在直线．]
4．D [先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之．]
5．B [先化成标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，将O(0,0)代入可得a2＋1>2a(0<a<1)，即原点在圆外．]
6．D [圆心应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0．]
7．(0，－1)
解析 r＝＝．
当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
8．－2
解析 由题意知圆心应在直线l：x－y＋2＝0上，即－1＋＋2＝0，解得
a＝－2．
9．20
解析 点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，
∴|AC|＝10，最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝4，S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝20．
10．解 设过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得．
所以过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0．
将点D(－2，－1)代入上述方程等式不成立．
故A、B、C、D四点不能在同一个圆上．
11．解 (1)方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆必需有：
D2＋E2－4F＝4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
即：7t2－6t－1<0，
∴－<t<1．
(2)该圆的半径r满足：
r2＝
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－(16t4＋9)
＝－7t2＋6t＋1＝－72＋，
∴r2∈，∴r∈．
12．解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2． ①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ②
1＋9－D＋3E＋F＝0， ③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
13．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝于是有x0＝2x－3，y0＝2y．
由于点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝．
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝．
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