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第十四节 导数在争辩函数中的应用(二)
题号
1
2
3
4
5
答案
1.曲线y＝x3－2x2在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－x
解析：由于k＝y′|x＝1＝(3x2－4x)|x＝1＝－1，所以切线的方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x，故选D.
答案：D
2．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：令g(x)＝x－ln (x＋1)，则g′(x)＝1－＝，
由g′(x)＞0，得x＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)＜0得－1＜x＜0，即函数g(x)在(－1，0)上单调递减，
所以当x＝0时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(0)＝0，
于是对任意的x∈(－1，0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排解B、D，
因函数g(x)在(－1，0)上单调递减，则函数f(x)在(－1，0)上递增，故排解C，故选A.
答案：A
3．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：设f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝＋＝.当x∈时，f′(x)＜0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，
∴a≤0，即a的最大值为0.
答案：A
4．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如下图所示，则f(x)在[－2，1]上的最小值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
解析：易知f(x)为二次函数，且常数项为0，设f(x)＝ax2＋bx，则f′(x)＝2ax＋b，由图得导函数的表达式为f′(x)＝2，所以f(x)＝x2＋2x，当x＝－1时，f(x)在[－2，1]有最小值－1.故选A.
答案：A
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
解析：由于三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者微小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时取得极值. 由f(1)＝0或f(－1)＝0可得c－2＝0或c＋2＝0，即c＝±2.故选A.
答案：A
6．曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．
解析：由题意得f(0)＝＝－1，f′(x)＝，故f′(0)＝＝－2，所以曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.
答案：2x＋y＋1＝0
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是______．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝，由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
8．已知函数g(x)＝ax3＋2x2－2x，函数f(x)是函数g(x)的导函数．
(1)若a＝1，求g(x)的单调减区间；
(2)若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有
f＜，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，g(x)＝x3＋2x2－2x，g′(x)＝x2＋4x－2，
由g′(x)＜0解得－2－＜x＜－2＋，
∴当a＝1时函数g(x)的单调减区间为 (－2－，－2＋)．
(2)易知f(x)＝g′(x)＝ax2＋4x－2，
依题意知f－＝a＋4×－2－＝－(x1－x2)2＜0.
由于x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．
9．(2021·北京海淀区检测)已知函数f(x)＝x2＋＋1，其中a＞0.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝1平行，求a的值；
(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值．
解析：f′(x)＝2x－＝，x≠0.
(1)由题意可得f′(1)＝2(1－a3)＝0，解得a＝1，
此时f(1)＝4，在点(1，f(1))处的切线为y＝4，与直线y＝1平行．
故所求的a的值为1.
(2)由f′(x)＝0可得x＝a，a＞0，
①当0＜a≤1时，f′(x)＞0在[1，2]上恒成立，
所以y＝f(x)在[1，2]上递增，
所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝2a3＋2.
②当1＜a＜2时，
x
(1，a)
a
(a，2)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
微小值
由上表可得y＝f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)＝3a2＋1.
③由a≥2时，f′(x)＜0在[1，2]上恒成立，
所以y＝f(x)在[1，2]上递减．
所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝a3＋5.
综上争辩，可知：
当0＜a≤1时，y＝f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝2a3＋2；
当1＜a＜2时，y＝f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)＝3a2＋1；
当a≥2时，y＝f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝a3＋5.
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