【原创】江苏省2020—2021学年高一数学必修二随堂练习及答案：11圆的一般性方程.docx

随堂练习：圆的一般性方程

1． 方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围为________．

2． 若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是________．

3．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．

4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

5． 设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则AB等于________．

6． M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是________．

7．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．

8． 已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
答案
1．m＜
2．x2－y2＝0
3．x＋y－2＝0
4．20
5．2
6．x－y－3＝0
7．解　方法一　设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①
将P、Q的坐标分别代入①，得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0， ④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或.
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. ①
∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a－1)，
又圆C的半径r＝CP＝ . ②
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆C到y轴的距离为|a|.
r2＝a2＋2，
代入②并将两端平方，
得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5.
∴r1＝，r2＝.
故所求的圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
8．解　设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．