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限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. [2021·四川高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A. 棱柱 B. 棱台
C. 圆柱 D. 圆台
解析：依据几何体的三视图中正视图与侧视图全都且为梯形，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D合适，故选D.
答案：D
2. [2021·江门模拟]如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A. 正方形 B. 矩形
C. 菱形 D. 一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC，则O′D′＝O′C′＝2(cm)，OD＝2O′D′＝4(cm)，
C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，
OC＝＝＝6(cm)，
OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，
故原图形为菱形．
答案：C
3. [2021·宁波质检]如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )
A. 2 B.
C. 2 D. 4
解析：由题意可知，该三棱柱的侧视图应为矩形，如图所示．
在该矩形中，MM1＝CC1＝2，CM＝C1M1＝·AB＝.
所以侧视图的面积为S＝2.
答案：A
4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：由几何体可以看出，四棱锥中剩余的三条侧棱有两条投影后为长方体的棱，中间一条为正方体由下到上的对角线，故选项D正确．
答案：D
5. 如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )
解析：通过观看图形，三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．
答案：B
6. [2021·辽宁沈阳]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不行能是该锥体的俯视图的是( )
解析：若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不行能是选项C.
答案：C
7. [2021·陕西模拟](如图1所示)正方体截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
解析：其侧视图即为几何体在平面BCC1B1上的投影，留意到加工后的几何体的棱AD1在平面BCC1B1上的投影为BC1且在侧视图中能见到，而棱B1C的投影即为它本身且在侧视图中看不见．故选B.
答案：B
8. [2021·陕西师大附中模拟]图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.
解析：由三视图知，原几何体为三棱锥，三棱锥的底面是直角边分别为5 cm和6 cm的直角三角形，三棱锥的高为h cm，所以该几何体的体积为V＝××5×6×h＝20，解得h＝4.
答案：4
9. [2021·山西高校附中月考]三棱锥D－ABC及其三视图中的正视图和侧视图分别如图所示，则棱BD的长为________．
解析：由正视图知CD⊥平面ABC，设AC的中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2.由侧视图知CD＝4，BE＝2.在Rt△BCE中，BC＝＝＝4，在Rt△BCD中，BD＝＝＝4.
答案：4
10. [2022·苏州模拟]长和宽分别相等的两个矩形如图所示．
给定下列四个命题：
①存在三棱柱，其正视图、侧视图如图；
②存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样；
③存在圆柱，其正视图、侧视图如图；
④若矩形的长与宽分别是2和1，则该几何体的最大体积为4.
其中真命题的序号是________(写出全部真命题的序号)．
解析：对于①，将三棱柱正放时(三角形面为底面)能满足要求；②不正确，俯视图应当是正方形不是矩形；③正确，将圆柱正放(圆面为底面)满足要求；④正确，当该几何体是长方体时体积最大，最大体积为4.
答案：①③④
11. [2021·唐山检测]如图，在斜二测画法下，四边形A′B′C′D′是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？
解：如图(1)作D′E′⊥A′B′于E′，
C′F′⊥A′B′于F′，
则A′E′＝B′F′＝A′D′cos45°＝1，
∴C′D′＝E′F′＝3.
将原图复原(如图(2))，则原四边形应为直角梯形，∠A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝2，
∴S四边形ABCD＝×(5＋3)×2＝8.
12.
已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解：本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝＝4.
同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，
AB边上的高h＝ ＝5.
∴S侧＝2×＝40＋24.
[B级 知能提升]
1. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
解析：由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是可知该几何体的底面积是，由选项知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C.
答案：C
2. [2022·北京高考]在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
A. S1＝S2＝S3
B. S2＝S1且S2≠S3
C. S3＝S1且S3≠S2
D. S3＝S2且S3≠S1
解析：三棱锥D－ABC如图所示．
S1＝S△ABC＝×2×2＝2，
S2＝×2×＝，
S3＝×2×＝，
∴S2＝S3且S1≠S3，故选D.
答案：D
3. [2021·辽宁模拟]如图所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：将几何体的三视图还原为直观图：四棱锥P－ABCD，如图将直观图补成一个正方体，明显最长的一条棱的长PB，即为正方体的对角线长，易知正方体的棱长为2，所以对角线长为2.
答案：2
4. 如下的三个图中，图(1)是一个长方体被截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图(2)所示，(单位：cm)．
(1)在正视图下面，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)依据给出的尺寸，求该多面体的体积．
解：(1)俯视图如图所示．
(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)．
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