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学案3 怎样分解力
[学习目标定位] 1.知道什么是力的分解，知道力的分解同样遵守平行四边形定则.2.理解力的分解原则，会正确分解一个力，并会用作图法和计算法求分力.3.会用正交分解法求合力．
一、力的分解
1．分解法则：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循力的平行四边形定则．
2．分解的依据：对一个已知力的分解必需依据力的实际作用效果获得，关于分力的一些信息(例如分力方向或分力大小等)，再依据平行四边形定则求出分力．
二、正交分解法
把一个力分解成相互垂直的两个分力，称为正交分解法.
一、力的分解
[问题设计]
1．王昊同学假期里去旅游，他正拖着行李箱去检票，如图1所示．王昊对箱子有一个斜向上的拉力，这个力对箱子产生了什么效果？
图1
答案 王昊对箱子斜向上的拉力产生了两个效果：水平方向使箱子前进，竖直方向将箱子向上提起．
2．假如王昊斜向上拉箱子的力已知，这个力的两个分力大小是唯一的吗？如何求这两个分力的大小？
答案 是唯一的，用平行四边形定则来求解．
3．假如没有限制，一个力可以分解为多少对不同的力？
答案 很多对．
[要点提炼]
1．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
2．力的分解的争辩
(1)假如没有限制，一个力可分解为很多对大小、方向不同的分力．
(2)有限制条件的力的分解
①已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．(如图2所示)
图2
②已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．(如图3所示)
图3
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
图4
①当Fsin α<F2<F时，有两解，如图4甲所示．
②当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示．
③当F2<Fsin α时，无解，如图丙所示．
④当F2>F时，有唯一解，如图丁所示．
二、力的分解方法
[问题设计]
1.用铅笔、细线把一个钩码按图5所示的方式悬挂起来．
图5
(1)细线的拉力产生了哪些作用效果？
(2)依据细线拉力的作用效果作出拉力的两个分力，并求出两分力的大小．
答案 (1)细线的拉力产生了两个作用效果：竖直向上的力和水平向手的力．
(2)力的分解如图所示：
F1＝Fsin θ，F2＝Fcos θ.
2．如图6甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面．将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观看塑料垫板和橡皮筋的形变．
图6
(1)小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？假如没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
(2)请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解．
答案 (1)斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋；不会．
(2)重力的分解如图所示
[要点提炼]
1．力的效果分解法
(1)依据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)依据两个分力的方向作出力的平行四边形．
(3)利用数学学问解三角形，分析、计算分力的大小．
2．正交分解法
(1)正交分解的目的：当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不便利，为此先将各力正交分解，然后再合成．
(2)正交分解法求合力
①建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
图7
②正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图7所示．
③分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
④求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
一、按力的作用效果分解
例1 如图8所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30 N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和杆各受多大的力？
图8
解析 重物对O点的拉力F＝G，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止时杆所受的
弹力确定沿着杆，否则会引起杆的转动)．作平行四边形如图所示，由几何关系解得
F1＝＝60 N
F2＝≈52 N
答案 60 N 52 N
二、有限制条件的力的分解
例2 按下列两种状况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力．
图9
(1)一个分力在水平方向上，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向．
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图9所示)，求两个分力的大小．
解析 (1)力的分解如图所示．
F2＝＝300 N
设F2与F的夹角为θ，则
tan θ＝＝，解得θ＝53°
(2)力的分解如图所示．
F1＝Ftan 30°＝180× N＝60 N
F2＝＝ N＝120 N
答案 (1)300 N 与竖直方向夹角为53° (2)水平方向分力的大小为60 N，斜向下的分力的大小为120 N
三、正交分解法
例3 如图10所示，力F1、F2、F3、F4是在同一平面内的共点力，其中F1＝20 N、F2＝20 N、F3＝20 N、F4＝20 N，各力之间的夹角在图中已标出，求这四个共点力的合力大小和方向．
图10
解析 以F2方向为x轴的正方向建立直角坐标系xOy，如图所示，则将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得
F1x＝F1cos 60°＝20× N＝10 N，
F1y＝F1sin 60°＝20× N＝10 N；
F3x＝F3cos 45°＝20× N＝20 N，
F3y＝－F3cos 45°＝－20× N＝－20 N，
F4x＝－F4cos 60°＝－20× N＝－30 N，
F4y＝－F4cos 60°＝－20× N＝－10 N.
四个力在x轴上的合力为Fx＝F1x＋F2＋F3x＋F4x＝20 N，在y轴上的合力为Fy＝F1y＋F3y＋F4y＝－20 N，
四个力的合力F＝＝20 N.
合力方向与F3方向全都．
答案 20 N，与F3方向全都
1．力的分解：已知一个力求它的分力的过程．力的分解遵循平行四边形定则．
2．力的分解有唯一解的条件
(1)已知两个分力的方向．
(2)已知一个分力的大小和方向．
3．力的分解方法
(1)按力的实际作用效果分解．
(2)正交分解法求合力
以共点力的作用点为原点建立直角坐标系(让尽量多的力在坐标轴上)，把不在坐标轴上的力分解到x轴、y轴上，然后分别求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，则共点力的合力大小F＝，合力方向与x轴夹角为α，tan α＝.
4．矢量相加的法则
平行四边形定则、三角形定则.
1．(按力的作用效果分解)在图11中，AB、AC两光滑斜面相互垂直，AC与水平面成30°.假如把球O的重力G依据其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
图11
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
答案 A
解析 对球所受重力进行分解如图所示，
由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
2.(有限制条件的力的分解)如图12所示，一物体受到两个力作用，其中F1＝1 000 N，且与OO′方向夹角为30 °，若要使两个力的合力沿OO′方向，则F2的最小值为( )
图12
A．500 N B．500 N
C．1 000 N D．400 N
答案 B
解析 如图所示，作平行四边形可知，当F2的方向垂直于OO′时F2有最小值，最小值为F2＝F1sin 30°＝1 000× N＝500 N，故B正确．
题组一 对力的分解的理解
1．若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法正确的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1、F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用
D．F1、F2共同作用的效果与F相同
答案 ABD
2．把一个力分解为两个力时( )
A．一个分力变大时，另一个分力确定要变小
B．两个分力不能同时变大
C．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍
答案 C
解析 设把一个力F分解为F1、F2两个分力，当F1、F2在一条直线上且方向相反时，则有F＝|F1－F2|，当F1变大时，F2也变大，A、B错．F1、F2可以同时大于F的2倍，D错．当将F沿一条直线分解为两个方向相同的力F1、F2时，则有F＝F1＋F2，可知F1、F2不行能同时小于F，C对．
3．下列说法中正确的是( )
A．一个2 N的力能分解为7 N和4 N的两个分力
B．一个2 N的力能分解为7 N和9 N的两个分力
C．一个6 N的力能分解为3 N和4 N的两个分力
D．一个8 N的力能分解为4 N和3 N的两个分力
答案 BC
题组二 有限制条件的力的分解
4．下列说法正确的是( )
A．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值
B．已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则另一个分力必为确定值
C．分力数目确定后，若已知各分力大小、方向，可依据平行四边形定则求出总的合力
D．若合力为确定值，两分力方向已知，依据平行四边形定则确定可以求出这两个分力的大小
答案 BCD
解析 已知合力大小、方向，其分力有很多组，A错．若已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则依据平行四边形定则，另一分力为确定值，B对．若分力确定后，可依据平行四边形定则，求出总的合力，C对．合力为确定值，两分力的方向已知，则两分力是唯一的．
5．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有很多组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
答案 B
解析 由三角形定则作图如图所示，由几何学问知另一分力的最小值F2′＝Fsin 30°＝10× N＝5 N，而题中分力的大小为6 N，大于最小值5 N，小于F＝10 N，所以有两组解．
题组三 按力的作用效果分解
6．如图1为某同学设计的一个小试验．他将细绳的一端系在手指上(B处)，绳的另一端系在直杆的A端，杆的另一端C顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止．通过试验会感受到( )
图1
A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
答案 ACD
解析
重物重力的作用效果，一方面拉紧绳，另一方面使杆压紧手掌，所以重力可以分解为沿绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示．由几何学问得F1＝，F2＝Gtan θ，若所挂重物质量变大，则F1、F2都变大，选项A、C、D正确．
7．如图2所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10 m．用300 N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5 m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为( )
图2
A．1 500 N B．6 000 N
C．300 N D．1 500 N
答案 A
解析
拉力F产生两个效果(如图所示)，由题意可知绳子与水平方向的夹角正弦值为sin α＝＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝＝1 500 N，A项正确，B、C、D项错误．
8．如图3所示，三段不行伸长的细绳，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和竖直墙上．若渐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的绳是( )
图3
A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
答案 A
解析 OC下悬挂重物，
它对O点的拉力等于重物的重力G.OC绳的拉力产生两个效果：使OB在O点受到水平向左的力F1，使OA在O点受到沿绳子方向斜向下的力F2，F1、F2是G的两个分力．由平行四边形定则可作出力的分解图如图所示，当渐渐增大所挂物体的质量时，哪根绳受的拉力最大则哪根最先断．从图中可知：表示F2的有向线段最长，F2分力最大，故OA绳最先断．
题组四 力的正交分解
9．如图4所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
图4
A.mg和mg B.mg和mg
C.mg和μmg D.mg和mg
答案 A
解析 依据三棱柱重力mg的作用效果，可分解为沿斜面对下的分力F1和使三棱柱压紧斜面的力F2，依据几何关系得
F1＝mgsin 30°＝mg，
F2＝mgcos 30°＝mg，
由于F1与三棱柱所受静摩擦力大小相等，F2与斜面对三棱柱的支持力大小相等，因此，可知选项A正确．
10.如图5所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中N为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
图5
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、N、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力N、F1、F2这三个力的作用效果与mg、N这两个力的作用效果相同
答案 D
解析 F1是重力沿斜面对下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，但施力物体不是斜面，故选项A错误．物体受力重力mg和支持力N两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压紧斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但两者的受力物体不同，F2的受力物体是物体，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误．合力与分力的作用效果相同，故选项D正确．
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