1、第六章其次节一、选择题1(文)(2022吉林九校联合体二模)在等差数列an中，a1a58，a47，则a5()A11 B10 C7D3答案B解析设公差为d，则，解得，a5a14d21210.(理)(2022云南玉溪一中月考)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a35，S1122，则数列an的公差d为()A1BCD1答案A解析由S1111a622，可知a62，所以d1，故选A2(文)(2022沈阳一模)已知数列an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是()A4BC4D143答案A解析an是等差数列，a415，S555，a1a522，2a322，a311.
2、kPQ4，故选A(理)已知等差数列an的前n项和为Sn，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且a15a6(直线MP不过点O)，则S20等于()A10B15C20D40答案A解析依题意，得a15a61.由等差数列性质知a15a6a1a20，所以S2010(a15a6)10，选A3(文)(2021昆明重点高中检测)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3a4a512，则S7的值为()A28B42C56D14答案A解析a3a4a53a412，a44，S77a428，故选A(理)(2021天津新华中学月考)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于(
3、)A18B24C60D90答案C解析由于a4是a3与a7的等比中项，所以a3a7a，又S832，所以a1a88，解得a13，d2，所以S1010a1d3109060，选C4(2021北京师大二附中期中)在数列an中，若a12，且对任意的正整数n都有a2na，则a8的值为()A256B128C64D32答案A解析由条件知a2a，a4a，a8a，a8a28256.5(文)(2022安徽淮北模拟)若等差数列an的公差d0，且a1a110，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()()A5B6C5或6D6或7答案C解析a1a110，a1a110d0，即a15d.ana1(n1)d(n6)d.由
4、an0得(n6)d0.d0，a60，所以前5项或前6项的和最大(理)(2022江西六校联考)等差数列an中，a10，d0，S3S11，则Sn中的最大值是()AS7BS7或S8CS14DS8答案A解析由S3S11得3a13d11a155d，da1，该数列是一个递减的等差数列要求Sn中的最大值，必需保证每项都为正值ana1(n1)da1(n1)a10，n，nN*，则n的最大值为7，所以Sn中的最大值是S7.点评(1)在争辩等差数列an的前n项和Sn的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形(2)假如pq2r(p、q、rN*)，则apaq2ar，而不是apaqa2r.6(文)设Sn表示等差数列a
5、n的前n项和，已知，那么等于()ABCD答案B解析设其公差为d，a13d.(理)设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1a4a799，a2a5a893，若对任意nN*，都有SnSk成立，则k的值为()A22B21C20D19答案C解析设等差数列an的公差为d，则有3d93996，d2；a1(a13d)(a16d)3a19d3a11899，a139，ana1(n1)d392(n1)412n.令an412n0得nbn(nN*)恒成立，求实数t的取值范围解析(1)a26，a312.当n2时，anan12n，an1an22(n1)，a3a223，a2a122，由累加法可知ana1(n2)(n1
6、)，ann(n1)，阅历证，当n1时，a1212也成立，则数列an的通项公式为ann(n1)，nN*.(2)，bn()()().令cn2n，则cn为递增数列，(bn)maxb1.当m1,1时，不等式t22mtbn(nN*)恒成立，即t22mt对m1,1恒成立，解得t(，2)(2，)一、选择题11(文)设an是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于()A4B5C6D7答案A解析an是等差数列，且a1a2a315，a25，又a1a2a3105，a1a321，由及an递减可求得a17，d2，an92n，由an0得n4，选A(理)已知等差数列an的前n项
7、和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()ABCD答案A解析本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用a55，S515，15，即a11.d1，ann.则数列的前100项的和为：T100(1)()()1.故选A点评本题亦可利用等差数列的性质，由S515得5a315，即a33，再进一步求解12(2022哈三中二模)已知正项等差数列an，若存在常数t，使得a2ntan对一切nN*成立，则t的集合是()A1B1,2C2D，2答案B解析a2ntan，a2ta1，da1(t1)，又a4ta2，2da2(t1)，若t1，则d0，若t1，则2，t2，故选B13(2
8、021浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列an中，首项a11且前n项和Sn满足SnSn12(nN*且n2)，则a81()A641B640C639D638答案B解析由已知SnSn12可得，2，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，故2n1，Sn(2n1)2，所以a81S81S8016121592640，故选B14(2022黑龙江七台河中学第三次月考)在等差数列an中，amn，anm，则amn的值为()AmnB(mn)C(mn)D0答案D解析aman(mn)dnm，d1，amnamndnn0.二、填空题15(2022河北冀州模拟)在等差数列an中，an0，且a1a2a1030，则a5a6的最大值
9、等于_答案9解析由a1a2a1030，得a5a66，又an0，a5a6()2()29.16(文)(2021南京模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若(a21)32022(a21)1，(a20111)32022(a20111)1，则下列四个命题中真命题的序号为_S20112011；S20222022；a2011a2；S20110，f(x)单调递增由f(1)20211知f(1)f(a21)，1a21，a2f(a20111)，a21a20111，a2011a1a2S2，错误；假设S20112011，则2010a12011，a11，S20112011，a20111，这与an是等差数列冲突，错综上，
10、正确的为.(理)(2021黄山期末)对于正项数列an，定义Hn为an的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn，则数列an的通项公式为_答案an解析由Hn可得，a12a23a3nan，a12a23a3(n1)an1，得nan，所以an.三、解答题17(文)(2022河北衡水月考)已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4.(1)求证an为等差数列；(2)求an的通项公式解析(1)证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，2Snan4.两式相减，得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an
11、1an1.若an1an1，则anan11.由于a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相冲突，所以an1an1，即anan11.因此an为等差数列(2)由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)n2，即ann2.点评1.求数列的通项公式常见的有以下三种类型(1)已知数列的前几项，写出一个通项公式依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系一般步骤是：定符号，定分子、分母，观看前后项的数值特征找规律，综合写出项与项数的关系要特殊留意以下数列特点：自然数列，自然数的平方列奇数列，偶数列an(1)n，an1(1)nansin，ancos.a
12、n(10n1)(k1,2，9)要留意理顺其大小规律如：2，4，先变化为：，.(2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是接受“归纳猜想证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理(3)已知数列的前n项和求通项公式，用anSnSn1(n2)求解2用anSnSn1求an得到anpnq时，只有检验了a1是否满足an，才能确定其是否为等差数列，前n项和是不含常数项的n的二次函数时，an才是等差数列(理)(2022陕西西北工业高校附属中学六模)已知数列an的前n项和为Sn，a1，Snn2ann(n1)，n1,2，.(1)证明：数列Sn是等差数列，并求Sn；(2)设bn，求证：b1b2bn.解析(1
13、)由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn2(SnSn1)n(n1)，即(n21)Snn2Sn1n(n1)，SnSn11，对n2成立又S11，Sn是首项为1，公差为1的等差数列Sn1n1n，Sn.(2)bn()b1b2bn()().18(文)(2021河北唐山一模)设函数f(x)axb(其中a0)，若f(3)5，且f(1)，f(2)，f(5)成等比数列(1)求f(n)；(2)令bnf(n)2n，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)f(3)5，且f(1)，f(2)，f(5)成等比数列，解得a2，b1，f(x)2x1，即f(n)2n1.(2)由题意得bn(2n1)2n，则Tn121322(2n
14、1)2n，2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1，得：Tn223242n1(2n1)2n122n16(2n1)2n1(2n3)2n16，Tn(2n3)2n16.(理)(2021湖南十二校联考)已知数列an的前n项和为Sn，点A(n，)(nN*)总在直线yx上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn(nN*)，试问数列bn中是否存在最大项，假如存在，恳求出；假如不存在，请说明理由解析(1)由于点A(n，)(nN)在直线yx上，故有n，即Snn2n，当n2时，Sn1(n1)2(n1)，所以anSnSn1n2n(n1)2(n1)n1(n2)当n1时，a1S12满足上式，故数列an的通项公式为ann1.(2)由ann1，可知bn，b1b4，所以，b2b1b3b4，猜想bn1递减，即猜想当n2时，考察函数y(xe)，则y，明显当xe时，lnx1，即y0，故y，即两边取对数得，ln(n1)ln(n2)即，于是构造函数f(x)(xe)，通过争辩函数f(x)的单调性来证明不等式
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