1、第六章第三节一、选择题1(2022山西高校附中月考)在各项都为正数的等比数列an中，首项为3，前3项和为21，则a3等于()A15 B12 C9D6答案B解析设公比为q(q0)，则33q3q221，q2q60，q2，a3a1q23412.2(文)(2022宁夏银川市一中二模)已知等比数列an的公比大于1，a3a772，a2a827，则a12()A96B64C72D48答案A解析a2a8a3a772，a2a827，q1，q22，a12a8q496.(理)(2022山西重点中学四校联考)等比数列an满足an0，nN，且a3a2n322n(n2)，则当n1时，log2a1log2a2log2a2n1
2、()An(2n1)B(n1)2Cn2D(n1)2答案A解析a3a2n3a22n，an2n，log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2a2n1)log2a(2n1)log2ann(2n1)3(文)(2021西安模拟)已知a，b，m，n，x，y均为正数，且ab，若a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有()Amn，xyBmn，xyCmn，xyDmy答案B解析由条件得，2mab，n2ab，a、b、x、y、m、n都是正数且ab，n1时，1q30，xy0；当0q0而q810，xy0时，q2，当且仅当q1时等号成立，0b1；当q0时，q2，当且仅当q1时等号成立，3ba10
3、1a11a12，因此T10取最大值6将正偶数集合2,4,6，从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：第一组其次组第三组 2,46,8,10,1214,16,18,20,22,24,26,28则2022位于()A第7组B第8组C第9组D第10组答案C解析前n组共有2482n2n12个数由an2n2022知，n1007，2022为第1007个偶数，29512,2101024，故前8组共有510个数，前9组共有1022个数，即2022在第9组二、填空题7现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_答案解析等比数列的通项公式为an(
4、3)n1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值若an8，则n为奇数且(3)n13n18，则n12，n3，n3,5,7,9，共四项满足要求p1.点评直接考虑状况较多时，可以从其对立面来考虑问题8(文)(2021浙江湖州中学)已知数列an是正项等比数列，若a132，a44，则数列log2an的前n项和Sn的最大值为_答案15解析a132，a44，q，an32()n1，log2anlog232()n15(n1)log26n，由6n0，得n6，前5项(或6项)和最大，S515.(理)(2022河北衡水中学二调)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.答案解析，而a8a9a7a10
5、，.9已知a、b、c成等比数列，假如a、x、b和b、y、c都成等差数列，则_.答案2解析由条件知x，y，cbq，a，2.三、解答题10(文)已知数列an中，a11，Sn是数列an的前n项和，且对任意nN*，有an1kSn1(k为常数)(1)当k2时，求a2、a3的值；(2)试推断数列an是否为等比数列？请说明理由解析(1)当k2时，an12Sn1，令n1得a22S11，又a1S11，得a23；令n2得a32S212(a1a2)19，a39.a23，a39.(2)由an1kSn1，得ankSn11，两式相减，得an1ankan(n2)，即an1(k1)an(n2)，且k1，故an1(k1)an.
6、故当k1时，an此时，an不是等比数列；当k1时，k10，此时，an是首项为1，公比为k1的等比数列综上，当k1时，an不是等比数列；当k1时，an是等比数列(理)(2021湖北)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2021？若存在，求出符合条件的全部n的集合；若不存在，说明理由解析(1)设数列an的公比为q，则a10，q0，由条件易知q1.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2021，则1(2)n2021，即(2)n20
7、22.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2022，即2n2022，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且全部这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5一、选择题11(文)已知等比数列an的公比q0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是()AS4a5S5a4CS4a5S5a4D不确定答案A解析(1)当q1时，S4a5S5a44a5aa0时，S4a5S5a4(q4q8q3q8)(q1)aq30，q0，前n项和为Sn，试比较与的大小解析当q1时，3，5，所以0且q1时，0，所以有.综上可知有.(理)已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P(log
8、0.5a5log0.5a7)，Qlog0.5，P与Q的大小关系是()APQBPQ答案D解析Plog0.5log0.5，Qlog0.5，q1，a3a9，又ylog0.5x在(0，)上递减，log0.5log0.5，即QP.故选D12(2022上海虹口二模)已知数列an是首项为a1，公差为d(0d2)的等差数列，若数列cosan是等比数列，则其公比为()A1B1C1D2答案B解析由于数列cosan是等比数列，所以cos2(a1d)cosa1cos(a12d)cos(a1dd)cos(a1dd)cos2(a1d)cos2dsin2(a1d)sin2d，所以sin2dcos2(a1d)sin2(a1d
9、)0，所以sin2d0，sind0，由于0d2，所以d.公比q1.13某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A4B5C6D7答案D解析由程序框图可知，S12222k2k11，由S100得，2k1101，2664,27128，k17，k6，结合语句kk1在SS2k后面知，当k6时，S127，k的值再增加1后输出k值为7.点评这是最简洁出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S100，又要顾及S与k的赋值语句的先后挨次二、填空题14(2022湖南岳阳质检)已知数列an的首项为a12，且an1(a1a2an)(nN*)，记Sn为数列an的前n项和，则Sn_，an
10、_.答案2()n1解析由an1(a1a2an)(nN*)，可得an1Sn，所以Sn1SnSn，即Sn1Sn，由此可知数列Sn是一个等比数列，其中首项S1a12，公比为，所以Sn2()n1，由此得an15已知等差数列an首项为a，公差为b，等比数列bn首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1b1，b22，则ab，解得a3，即2akan2对一切nN*恒成立，求实数k的取值范围解析(1)设等比数列an的公比为q，an1an92n1，nN*，a2a19，a3a218，q2，2a1a19，a13.an32n1，nN*.(2)由(1)知Sn3(2n1)，不等式化为3(2n1)k32n12，
11、即k2对一切nN*恒成立令f(n)2，易知f(n)随n的增大而增大，f(n)minf(1)2，k.实数k的取值范围为(，)18(2022四川“联测促改”)学校餐厅每天供应500名同学用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有改选B菜；而选B菜的，下星期一会有改选A菜用an，bn分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数(1)试用an1(nN*，n2)表示an，推断数列an300是否成等比数列并说明理由；(2)若第1个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？解析(1)由题知，对nN*有bn500an，所以当nN*且n2时，anan1(500an1)，即anan1150.an300(an1300)，当a1300时，an300不是等比数列；当a1300时，an300是以a1300为首项，为公比的等比数列(2)当a1200时，an300()n1(a1300)，即an300，a10300300.第10个星期一选A种菜的大约有300人
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