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第7课时 基本不等式的实际应用
1.进一步生疏基本不等式,并会用基本不等式来解题.
3.能利用基本不等式解决实际问题.
今日我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为72x dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(72x+2)-72=8+2(x+144x)≥8+2×2x·144x= .
当且仅当 时,取得最小值.
问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把 定为函数;
(2)建立相应的 ,把实际问题抽象为 问题;
(3)在定义域内,求出函数的 ;
(4)正确写出答案.
问题3:利用基本不等式求最值时,必需保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+2sinx,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+2sinx≥2sinx·2sinx=22,由于当x∈(0,π)时无法满足sin x=2sinx.
问题4:利用基本不等式求最值时,肯定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,全部的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式奇妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,如果要多次利用不等式求最值,还必需保证每次取“=”号的全都性.
1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若a,b∈R,则ab+ba≥2ab×ba=2
B.若a,b都为正数,则lg a+lg b≥2lga·lgb
C.若x<0,则x+2x≥-2x·2x=-22
D.若x≤0,则3x+3-x≥23x·3-x=2
2.已知x<54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值为( ).
A.5 B.1 C.3 D.4
3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨.
4.已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
利用基本不等式求函数的最值
求函数y=x2+8x-1(x>1)的最小值.
利用基本不等式解实际应用问题
某房地产开发公司方案在一楼区内建筑一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
把实际问题转化成数学模型
如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度肯定,池的外圈周壁建筑单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建筑单价为每米100元,池底建筑单价每平方米60元(池壁忽视不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
(1)已知x>0且x≠1,求lg x+logx10的取值范围.
(2)已知x≥52,求f(x)=2x-4x2-4x+5的最大值.
某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为12x个,每个元件的库存费为每年2元,假如不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?
某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
(1)该厂从第几年开头盈利?
(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?
1.设0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为( ).
A.34 B.12 C.3 D.1
2.设x>0,则y=3-3x-1x的最大值为( ).
A.3 B.3-32 C.3-23 D.-1
3.已知正数x,y满足8x+1y=1,则x+2y的最小值为 .
4.某工厂要建筑一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,假如池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
(2021年·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 (m).
考题变式(我来改编):
第7课时 等比数列的前n项和
学问体系梳理
问题1:na1 a1(1-qn)1-q a1-anq1-q
问题2:a1(1-qn)1-q 1×(1-264)1-2
问题3:a1-a1qn na1 a1(1-qn)1-q
问题4:Sn-a1Sn-an
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1.B 设数列{an}的公比为q,则q3=a4a1=18,∴q=12,∴数列{an}的前10项和为1-(12)101-12=2-129.
2.C S8-S4S4=a5+a6+a7+a8a1+a2+a3+a4=q4,所以q=±2.
3.152 由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=12,S4=12(1-24)1-2=152.
4.解:∵公比为q=2a,当q=1,即a=12时,Sn=n;
当q≠1,即a≠12时,则Sn=1-(2a)n1-2a.
∴Sn=n,a=12,1-(2a)n1-2a,a≠12.
重点难点探究
探究一:【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;
当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3a1q2,
由于a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),
即1+q+q2=3q2,解得q=-12.
综上所述,公比q的值为1或-12.
【小结】对于等比数列来讲,必需要考虑q=1和 q≠1两种状况.
探究二:【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1,
由已知得a1+a2=2(1a1+1a2)=2(a1+a2)a1a2,∴a1a2=2,
由a1+a2=8(1a3+1a4)=8(a3+a4)a3a4=8q2(a1+a2)a3a4,
∴a3a4=8q2,
又∵a1>0,q>0,∴a12q=2,a12q3=8,
解得a1=1,q=2,∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=an2+log2an=4n-1+(n-1),
∴Tn=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=4n-14-1+n(n-1)2=4n-13+n(n-1)2.
【小结】求和时要留意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.
探究三:【解析】(1)依据已知条件12S2+13S3=2,2S2×3S3=36,
整理得3S2+2S3=12,3S2×2S3=36,
解得3S2=2S3=6,即S2=2,S3=3.
(2)∵q≠1,则a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=3,
可解得q=-12,a1=4,
∴Sn=4[1-(-12)n]1+12=83-83(-12)n.
【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.
思维拓展应用
应用一:∵S6≠2S3,∴q≠1,
∴a1(1-q3)1-q=72,①a1(1-q6)1-q=632,②
由②÷①得1+q3=9,∴q=2,
代入①得a1=12,∴an=a1qn-1=2n-2.
应用二:由题意可知,该数列的通项公式为an=n+12n,
∴Sn=(1+12)+(2+14)+…+(n+12n)=(1+2+3+…+n)+(12+14+18+…+12n)=n(n+1)2+1-12n.
应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),
解得a1=d或d=0(舍去),
所以数列{an}的通项是an=nd.
由于数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,
即数列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列,
所以公比q=3dd=3,k1d=32d,即k1=9,
所以数列{kn}是以k1=9为首项,3为公比的等比数列,故kn=9×3n-1=3n+1.
(2)Sn=132+233+334+…+n3n+1, ①
13Sn=133+234+335+…+n3n+2, ②
由①-②,并整理得Sn=14(1-13n)-n2·3n+1=14-2n+34·3n+1.
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1.D 由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,则S5S2=a1(1+25)a1(1-22)=-11.
2.C 由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,∴q=2(负根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.
3.S2 32 设等比数列的公比为q,若S2计算正确,则有q=2,但此时S3≠38,S4≠65与题设不符,故算错的就是S2,此时,由S3=38可得q=32或q=-52;当q=32时,S4=65也正确;当q=-52时,S4不正确,舍去.所以q=32.
4.解:由a4=a1q3=12q3=-4,可得q=-2,
因此,数列{|an|}是首项为12,公比为2的等比数列,
所以|a1|+|a2|+…+|an|=12(1-2n)1-2=2n-1-12.
全新视角拓展
C 由已知得an+1an=-13,则数列{an}为公比是-13的等比数列,∵a2=-43,∴a1=4,则数列{an}前10项的和S10=4[1-(-13)10]1-(-13)=3(1-3-10).
思维导图构建
三个 两个
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