2021高中数学北师大版必修五导学案：《二元一次不等式(组)与平面区域》.docx

第8课时　二元一次不等式(组)与平面区域

1.经受从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的力量.
2.了解二元一次不等式的几何意义,会作出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
3.能利用二元一次不等式(组)所表示的平面区域解决简洁的实际问题.

如图,点P1(-1,0)与点P2(0,-1)都在直线上,都满足x+y+1=0,点P3(0,0)与点P4(1,1)都在直线右上方,满足x+y+1>0,点P5(-2,0)与点P6(-1,-1)都在直线左下方,满足x+y+1<0.

问题1:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:
(1)直线l上的　　　　　　满足ax+by+c=0. 
(2)直线l　　　　的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c>0. 
(3)直线l　　　　　的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c<0. 
所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一　　　　　　　,从a0x+b0y+c值的正负,即可推断不等式表示的平面区域.通常直线不经过原点就选原点,直线经过原点就选其他点. 
问题2:画平面区域的步骤是:①　　　　——画出不等式所对应的方程所表示的直线(假如原不等式带等号,则画成实线,否则,画成虚线);②　　　　　——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,依据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;③　　　　　　——假如平面区域是由不等式组打算的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.俗称“直线定界,特殊点定域”. 
问题3:二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系:
①当B>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　　　　. 
当B<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　　　　. 
②当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　　　　. 
当A<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　　　　. 
对于Ax+By+C<0,也有类似的结论.
归结出一句话:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
问题4:用二元一次不等式组表示实际问题的步骤:
(1)依据问题需求,选取具有　　　　　　的两个量用字母表示; 
(2)把问题中的　　　　　都用这两个字母表示出来; 
(3)把实际问题中的　　　　　　写成不等式; 
(4)把这些不等式　　　　　　　　　　用平面区域表示出来. 

1.不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是(　　).

2.不等式组x>2,x-y+3<0表示的平面区域是(　　).

3.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是　　　　. 
4.画出不等式组y<-3x+12,x<2y表示的平面区域.

二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面区域是(　　).

用二元一次不等式组表示实际问题
某厂使用两种零件A、B装配两种产品甲、乙,该厂的生产力量是月产甲产品最多2500件,月产乙产品最多1200件,而且装配一件甲产品需要4个A,6个B,装配一件乙产品需要6个A,8个B.2021年1月,该厂能用的A最多有14000个,B最多有12000个,用不等式组将甲、乙两种产量之间的关系表示出来.

求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
在平面直角坐标系中,画出不等式组y≥x-1,y≤-3|x|+1所表示的平面区域,并求出平面区域的面积.

由直线x+y+2=0,x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界),可用不等式组表示为　　　　　　　　　. 

一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t,硝酸盐18 t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t,硝酸盐15 t,现库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t,在此基础上生产两种混合肥料.用不等式组将甲、乙两种肥料的车皮数表示出来,并画出相应的平面区域.

求不等式组x<3,2y≥x,3x+2y≥6,3y<x+9表示的平面区域的面积.

1.不等式x2-y2≥0表示的平面区域是(　　).

2.已知A(-3,-1)和B(4,-6)在直线3x-2y-a=0的同侧,则a的取值范围为(　　).
A.(-24,7) B.(-7,24)
C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
3.若不等式组x-y+5≥0,y≥a,0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是　　　　. 
4.在平面直角坐标系中,不等式组x+y≥0,x-y+4≥0,x≤a所表示的平面区域的面积是9,求实数a的值.

　　(2008年·山东卷)设二元一次不等式组x+2y-19≥0,x-y+8≥0,2x+y-14≤0所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图像过区域M的a的取值范围是(　　).
A.[1,3]　　 B.[2,10] C.[2,9] D.[10,9]
考题变式(我来改编):

第8课时　等比数列的应用
学问体系梳理
问题1:(1)qn-m　n-manam　(2)am·an=ap·aq　am·an=ap2　(3)qk　(4)①q　②q2　③q2　④积
问题2:(1)qm　(2)0
问题3:(1)anan-1　(2)an·an+2　(3)qn　(4)-k
问题4:(1)增　(2)增　(3)减　(4)减　(5)摇摆　常
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1.B　由题意得an=10n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)=(10+102+…+10n)-n=10(10n-1)9-n.
2.A　由a2021=3S2022+2022与a2022=3S2011+2022相减得,a2021-a2022=3a2022,即q=4,故选A.
3.126　在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4成等比数列,∵S2=6,S4-S2=24,∴S6-S4=2426=96,∴S6=S4+96=126.
4.解:由an=2·3n得an+1an=2·3n+12·3n=3,又a1=6,
∴{an}是等比数列,其公比为q=3,首项a1=6,
∴{an}的奇数项也成等比数列,公比为q2=9,首项为a1=6,
∴Sn=6(1-9n)1-9=34(9n-1).
重点难点探究
探究一:【解析】(法一)∵{an}为等比数列,
∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,
∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28.
(法二)∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
∴a1(1-q2)1-q=7,①a1(1-q6)1-q=91,②
②①得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±3.
当q=3时,a1=7(3-1)2,∴S4=a1(1-q4)1-q=28;
当q=-3时,a1=-7(3+1)2,∴S4=a1(1-q4)1-q=28.
【小结】等比数列中项数相等的连续项的和若不为零时,则连续项的和仍成等比数列.
探究二:【解析】(1)a1=1,a2=32,∴a2-a1=32-1=12,
又an+2-an+1=12an+1-12an.
∴an+2-an+1an+1-an=12,即dn+1=12dn.
故数列{dn}是以12为首项,12为公比的等比数列.
(2)由(1)得dn=an+1-an=(12)n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(12)n-1+(12)n-2+…+(12)1+1
=2-(12)n-1.
【小结】通过递推关系求数列通项的关键是构造新数列,比如等差或等比数列.
探究三:【解析】(1)设公差为d,
则4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d),
解得a1=2,d=1或a1=72,d=0(舍去),
∴an=n+1,Sn=n(n+3)2.
又a1=2,d=1,∴a3=4,即b2=4.
∴数列{bn}的首项为b1=2,公比q=b2b1=2,
∴bn=2n,Tn=2n+1-2.
(2)∵Kn=2·21+3·22+…+(n+1)·2n,　①
∴2Kn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,　②
①-②得-Kn=2·21+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1,
∴Kn=n·2n+1,则cn=SnTnKn=(n+3)(2n-1)2n+1.
∵cn+1-cn=(n+4)(2n+1-1)2n+2-(n+3)(2n-1)2n+1
=2n+1+n+22n+2>0,
∴cn+1>cn(n∈N+).
【小结】把握等差数列、等比数列的有关性质和错位相减法求和,以及利用比差法比较大小等学问.
思维拓展应用
应用一:∵{an}为等比数列,且由已知可得q≠±1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),∴S3n=(S2n-Sn)2Sn+S2n=(60-48)248+60=63.
应用二:原式可变为1an+1=3an+1,
∴可变形为1an+1+12=3(1an+12),
∴{1an+12}为等比数列,首项为1a1+12=32,公比为3,
∴1an+12=32·3n-1,∴an=23n-1.
应用三:(1)∵点Pn(n,Sn)(n∈N+)均在函数y=f(x)的图像上,且f(x)=-x2+7x,
∴有Sn=-n2+7n.
当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,
∴an=-2n+8(n∈N+).
∵Sn=-n2+7n=-(n-72)2+494,∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
综上,an=-2n+8(n∈N+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
(2)由题意得b1=26=8,bn=2-2n+8=2-n+4,
∴bn+1bn=12,
∴数列{bn}是首项为8,公比为12的等比数列,
故{nbn}的前n项和
Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4,　①
12Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3,　②
∴①-②得:12Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3,
∴Tn=16·[1-(12)n]1-12-n·24-n=32-(2+n)·24-n.
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1.B　由题意知anq2=an+3anq,∴q2-3q-1=0,∴q=3+132或q=3-132(舍去).
2.C　∵{an}为等比数列,明显S6-S3≠0,∴S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即(S6-S3)2=S3·(S9-S6),又∵S6∶S3=1∶2,∴14S32=S3(S9-12S3),即34S3=S9,∴S9∶S3=3∶4.
3.56　an+1为数列{an}的中间项,其中奇数项有n+1项,偶数项有n项,且奇数项之积为T奇=(an+1)n+1,偶数项之积为T偶=(an+1)n,所以an+1=T奇T偶=56.
4.解:设该等比数列有2n项,则奇数项有n项,偶数项有n项,设公比为q,由等比数列的性质可得S偶S奇=17085=2=q.又∵S奇+S偶=a1(1-q2n)1-q=255,a1=1,∴2n=8,∴此数列的公比为2,项数为8.
全新视角拓展
B　∵S6S3=q6-1q3-1=q3+1=3,∴q3=2,∴S9S6=q9-1q6-1=8-14-1=73.