2021高中数学北师大版必修五导学案：《解三角形的实际应用》.docx

第5课时　解三角形的实际应用

1.把握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.
2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.
3.学会解三角形应用题的一般步骤.

中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参与了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开头走出近海,深化远海进行演习,实力在不断增加,为护卫我们的“蓝色国土”供应了坚实的保障.
2005年7月11日,是中国宏大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同幻想.

问题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经格外先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是依据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?
方位角:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;方向角:　　　　　　　　　　　　　　　　.此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　和仰角:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常消灭. 
问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?
(1)a∶b∶c=　　　　　　　　　　　　　　　; 
(2)R为△ABC外接圆的半径,则sin A=　　　　　　,sin B=　　　　　　,sin C=　　　　　　; 
(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cos A=　　　　　　　　,cos B=　　　　　　　　　,cos C=　　　　　　　　. 
问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?
分如下四个步骤:
(1)　　　　:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. 
(2)　　　　:依据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题. 
(3)　　　　:利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解. 
(4)　　　　:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解. 
问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?
应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是依据题意,从实际问题中抽象出　　　　　,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如　　　　、　　　　、　　　　、　　　　　等,要留意解的实际意义以及题目中给出的精确度. 

1.若P在Q的北偏东44°50',则Q在P的(　　).
A.东偏北45°10'　　　 B.东偏北45°50'
C.南偏西44°50' D.南偏西45°50'
2.一船向正北航行,观察正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,连续航行半小时后,观察一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的航行速度是每小时(　　).
A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里
3.在直径为30 m的圆形广场中心上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为　　　　m. 
4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,求 B、C间的距离.

利用正、余弦定理求解距离问题
如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距3千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.

利用正、余弦定理求解高度问题
如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD.

利用正、余弦定理求解角度问题

在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.

某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A动身有一条南偏东35°走向的大路,在C处测得与C相距31 km的大路上的B处有一人正沿此大路向A走去,走了20 km后到达D处,此时测得CD距离为21 km,求此人在D处距A的距离.

如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.

如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cos θ.

1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为(　　).
A.α>β　　　 B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°

2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于a km,灯塔A在观看站C的北偏东20°,灯塔B在观看站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(　　).
A.a km B.3a km
C.2a km D.2a km
3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10 n mile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是　　　　n mile. 
4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60 m,求树的高度h.

(2021年·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲动身2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=1213,cos C=35.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙动身多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

考题变式(我来改编):

第5课时　解三角形的实际应用
学问体系梳理
问题1:从正北方向顺时针到目标方向线的水平角　从指定方向线到目标方向线的水平角　在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角　在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角
问题2:(1)sin A∶sin B∶sin C　(2)a2R　b2R　c2R　(3)b2+c2-a22bc　c2+a2-b22ac　a2+b2-c22ab
问题3:(1)分析　(2)建模　(3)求解　(4)检验
问题4:一个或几个三角形　坡角　仰角　俯角　方位角
基础学习沟通
1.C　依据P在Q的北偏东44°50',可以推断Q在P的南偏西44°50',故选C.
2.C　

如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是50.5=10(海里/小时).
3.53　

轴截面如图,则光源高度h=15tan60°=53(m).
4.解:

依据题意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,
∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19,∴BC=19.
重点难点探究
探究一:【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD=3.
在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,
由正弦定理,可得BC=3sin75°sin60°=2sin(30°+45°)=2sin 30°cos 45°+2cos 30°sin 45°=6+22.
在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×cos 75°=5+3-(32+6)(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°)=5,∴AB=5.
故两目标A,B间的距离为5千米.
【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.
(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用格外广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.
(3)计算方法:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=6+24.同理cos 75°=6-24.熟记后可直接应用.
探究二:

【解析】如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=x m,则AE=(x-20)m,
∵tan 60°=CDBD,
∴BD=CDtan60°=x3=33x(m).
在△AEC中,x-20=33x,解得x=10(3+3) m.故山高CD为10(3+3) m.
【小结】(1)测量高度时,要精确     理解仰、俯角的概念;
(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.
探究三:

【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,
则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.
依据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°,
解得x=2.故AC=28,BC=20.
依据正弦定理得BCsinα=ACsin120°,解得sin α=20sin120°28=5314.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为5314.
【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.
(2)在解应用题时,理清已知与所求,再依据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要留意体会正、余弦定理综合使用的特点.
思维拓展应用
应用一:

如图,∠CAD=25°+35°=60°.
在△BCD中,由余弦定理,得
cos B=BC2+BD2-CD22BC·BD
=312+202-2122×31×20=2331.
故sin B=12331.
在△ABC中,由正弦定理,得
AC=BCsinBsinA=31×1233132=24.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A,即312=AB2+242-2×AB×24cos 60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D处距A还有15 km.
应用二:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,
由正弦定理得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD,
所以BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=s·sinβsin(α+β).
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=stanθsinβsin(α+β).
应用三:

如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,所以BC=207.
由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=217.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=277.
故cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°
=277×32-217×12=2114.
或由cos θ=sin B及正弦定理有sin B=ACBC·sin 120°=20227×32=2114.
基础智能检测
1.B　依据仰角与俯角的定义可知α=β.
2.B　由题意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°=2a2-2a2×(-12)=3a2,∴AB=3a.
3.56　在△ABC中,由正弦定理可得BCsinA=ABsinC,即BC=ABsinAsinC=10sin60°sin(180°-60°-75°)=56.
4.解:由正弦定理得:60sin(45°-30°)=PBsin30°,∴PB=30sin15°,∴h=PBsin 45°=(30+303)m.
全新视角拓展
(1)在△ABC中,由于cos A=1213,cos C=35,所以sin A=513,sin C=45.

从而sin B=sin[π-(A+C)]
=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=513×35+1213×45=6365.
由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinB×sin C=12606365×45=1040(m).
所以索道AB的长为1040 m.
(2)假设乙动身t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1213=200×(37t2-70t+50)=200[37×(t-3537)2+62537],
因0≤t≤1040130,即0≤t≤8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.