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第3讲 数学归纳法及其应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则 ( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
2．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>2)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边 ( )
A．增加了一项：
B．增加了两项：，
C．增加了两项：，，又削减了一项：
D．增加了一项：，又削减了一项：
解析 当n＝k时，左边＝＋＋…＋，
n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋.故选C.
答案 C
3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是 ( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
解析 计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故应选B.
答案 B
4．某个命题与正整数有关，假如当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时该命题成立，那么 ( )
A．n＝4时该命题成立
B．n＝4时该命题不成立
C．n≥5，n∈N＋时该命题都成立
D．可能n取某个大于5的整数时该命题不成立
解析 明显A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错．
答案 C
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需开放 ( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析 假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3开放，让其消灭k3即可．故应选A.
答案 A
二、填空题
6．(2021·榆林测试)在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．
解析 当n＝2时，＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝.当n＝3时，＋＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝.故猜想an＝.
答案 An＝
7．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
解析 当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋<k；当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<k＋1.左边增加了2k项．
答案 2k
8．(2021·九江模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．
解析 由于f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N＋)．
答案 f(2n)>(n≥2，n∈N＋)
三、解答题
9．(2022·陕西卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．
令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式．
解 由题设得，g(x)＝(x≥0)．由已知得，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，
g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．
②假设n＝k(k≥2且k∈N＋)时结论成立，
即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，
gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，
即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N＋成立．
10．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋.
(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
解 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，
所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)<g(2)；
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)<g(3)．
(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1,2,3时，不等式明显成立，
②假设当n＝k(k≥3)时不等式成立，即
1＋＋＋＋…＋<－.
那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋<－＋.
由于－
＝－＝<0，
所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
答案 C
12．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是 ( )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析 选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应当是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意．
答案 D
13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．
解析 f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n>4)．
答案 5 (n＋1)(n－2)
14．(2022·重庆卷)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N＋)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对全部n∈N＋成立？证明你的结论．
解 (1)法一 a2＝2，a3＝＋1.
再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N＋)．
法二 a2＝2，a3＝＋1，
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下面用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论明显成立．
假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上可知，
an＝＋1(n∈N＋)．
(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.
下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n＋1<1.
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<<a3<1，结论成立．
假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.
易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，
从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1.
故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.
这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.
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