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专练19 带电粒子在复合场中的运动
1．如图1所示，在直角坐标系xOy平面内，其次象限内虚线MN平行于y轴，N点坐标为(－L,0)其左侧有水平向左的匀强电场E1，MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场E2，E1、E2均未知，在第一、三、四象限内有垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度B未知．现有一质量为m、电荷量为q的负粒子从图中A点静止释放，不计粒子重力，粒子到达MN上的P点时速度为v0，速度方向水平，粒子从y轴上的C点(0,0.5L)与y轴负方向成30°角进入磁场，偏转后从x轴上的D点(图中未画出)垂直x轴穿出磁场并进入MN左侧电场且刚好又击中P点，求：
图1
(1)匀强电场的电场强度E2的大小．
(2)匀强磁场磁感应强度B的大小．
(3)匀强电场的电场强度E1的大小．
解析 (1)粒子在电场E2中做类平抛运动，令粒子进入磁场时速度为v，沿y轴方向的速度大小为vy
则有cot 30°＝＝
所以E2＝.
(2)粒子的运动轨迹如图所示，由运动规律及图中角度知ΔCO1G是一正三角形，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径为r＝CG＝2OC＝L
又因Bqv＝m
而v0＝vsin 30°
联立得B＝.
(3)粒子从D到P做类平抛运动，所用时间为t1，则有
OD－ON＝t
NP＝vt1而OD＝r＋r
粒子从P到C所用时间为t2，则t2＝，
所以NP＝＋t＝L
联立得E1＝.
答案 (1) (2) (3)
2．(2022·宿州市第三次质量检测)如图2所示，水平放置的两平行金属板A、B长8 cm，两板间距离d＝8 cm，两板间电势差UAB＝300 V，一质量m＝1.0×10－20kg、电荷量q＝1.0×10－10 C、初速度v0＝2×106 m/s的带正电的粒子，沿A、B板中心线OO′飞入电场，粒子飞出两板间电场后，经PQ上某点进入PQ右侧、OO′下侧的足够大的匀强磁场中，最终垂直OO′射出磁场．已知MN、PQ两界面相距L＝12 cm、D为中心线OO′与PQ界面的交点，不计粒子重力．求：
图2
(1)粒子飞出两板间电场时偏离中心线OO′的距离；
(2)粒子经过PQ界面时到D点的距离；
(3)匀强磁场的磁感应强度B的大小．
解析 (1)设粒子在电场中的偏移距离为y
在电场中，由牛顿其次定律得：＝ma
由类平抛运动的规律得：d＝v0t
y＝at2
vy＝at
v＝
tan θ＝
联立以上各式代入数值得：y＝3 cm
v＝2.5×106 m/s，tan θ＝
(2)设粒子经过PQ界面时到D点的距离为H
由几何学问得：H＝y＋Ltan θ
代入数值得：H＝12 cm
(或用：＝也可得分)
(3)设粒子在磁场中圆周运动的圆心为S，半径为R
由图可知：R＝
由牛顿其次定律得：qvB＝
联立以上各式代入数值得：B＝1.67×10－3 T
答案 见解析
3．(2022·济南高三教学质量调研考试)如图3所示，在x＜0的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第一象限倾斜直线OM的下方和第四象限内存在垂直纸面对里的匀强磁场．一带电粒子自电场中的P点沿x轴正方向射出，恰好经过坐标原点O进入匀强磁场，经磁场偏转后垂直于y轴从N点回到电场区域，并恰能返回P点．已知P点坐标为(－L，L)，带电粒子质量为m，电荷量为q，初速度为v0，不计粒子重力．求：
图3
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)N点的坐标；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小．
解析 (1)设粒子从P到O时间为t，加速度为a，
则L＝v0t，L＝at2
由牛顿其次定律，可得qE＝ma
由以上三式，可解得E＝
(2)设粒子运动到N点时速度为v，则
v＝＝2v0
所以粒子从N到P的时间t′＝t
沿y轴位移h＝at′2＝L
因此N点坐标为(0，L)
(3)粒子在磁场中运动轨迹如图所示，设半径为R.粒子在O点时速度方向与y轴负方向的夹角为30°
由几何关系可知R＋Rsin 30°＝L
又由于qvB＝m
解得B＝
答案 (1) (2)(0，L) (3)
4．(2022·天津卷，12)同步加速器在粒子物理争辩中有重要的应用，其基本原理简化为如图4所示的模型．M、N为两块中心开有小孔的平行金属板．质量为m、电荷量为＋q的粒子A(不计重力)从M板小孔飘入板间，初速度可视为零．每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均马上变为零．两板外部存在垂直纸面对里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离．A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必需相应地变化．不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应．求：
图4
(1)A运动第1周时磁场的磁感应强度B1的大小．
(2)在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率n；
(3)若有一个质量也为m、电荷量为＋kq(k为大于1的整数)的粒子B(不计重力)与A同时从M板小孔飘入板间，A、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变．下图中虚线、实线分别表示A、B的运动轨迹．在B的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映A、B的运动轨迹，并经推导说明理由．
解析 (1)设A经电场第1次加速后速度为v1，由动能定理得qU＝mv－0①
A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力
qv1B1＝m②
联立解得：B1＝ ③
(2)设A经n次加速后的速度为vn，由动能定理得
nqU＝mv－0④
设A做第n次圆周运动的周期为Tn，有
Tn＝⑤
设在A运动第n周的时间内电场力做功为Wn，则
Wn＝qU⑥
在该段时间内电场力做功的平均功率为n＝⑦
联立解得：n＝ ⑧
(3)A图能定性地反映A、B运动的轨迹．
A经过n次加速后，设其对应的磁感应强度为Bn，A、B的周期分别为Tn、T′，综合②⑤式并分别应用A、B的数据得Tn＝⑨
T′＝＝⑩
由上可知，Tn是T′的k倍，所以A每绕行1周，B就绕行k周．由于电场只在A通过时存在，故B仅在与A同时进入电场时才被加速．
经n次加速后，A、B的速度分别为vn、vn′，结合④式有
vn＝⑪
vn′＝＝vn⑫
由题设条件并结合⑤式，对A有Tnvn＝2πR⑬
设B的轨迹半径为R′，有T′vn′＝2πR′⑭
比较以上两式得R′＝⑮
上式表明，运动过程B的轨迹半径始终不变．
由以上分析可知，两粒子运动的轨迹如图A所示．
答案 (1) (2)
(3)A 理由见解析
5. (2022·山东潍坊市一模)如图5所示，在xOy平面内存在着垂直于xOy平面的磁场和平行于y轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图6甲、乙所示．以垂直于xOy平面对里磁场的磁感应强度为正，以沿y轴正方向电场的电场强度为正．t＝0时，带负电粒子从原点O以初速度v0沿y轴正方向运动，t＝5t0时，粒子回到O点，v0、t0、B0已知，粒子的比荷＝，不计粒子重力．
图5
(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期；
(2)求电场强度E0的值；
(3)保持磁场仍如图甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t＝0时刻，前述带负电粒子仍由O点以初速度v0沿y轴正方向运动，求粒子在t＝9t0时的位置坐标．
图6
解析 (1)粒子在磁场中运动时qv0B＝①
T＝②
＝
得T＝2t0③
(2)粒子t＝5t0时回到原点，轨迹如图所示
由牛顿其次定律qv0B0＝④
由几何关系得r2＝2r1⑤
得v2＝2v0⑥
由运动学公式v2＝v0＋at0⑦
由牛顿其次定律E0q＝ma⑧
得E0＝⑨
(3)t0时刻粒子回到x轴⑩
t0～2t0时间内，粒子位移
s1＝2[v0·＋a()]，⑪
2t0时刻粒子速度为v0
3t0时刻，粒子以速度v0到达y轴⑫
3t0～4t0时间内，粒子运动的位移
s2＝2[v0·－a()2]⑬
5t0时刻粒子运动到点[2r1，－(s2－s1)]⑭
依据粒子的周期性运动规律可知，t＝9t0时刻的位置坐标为[2r1，－2(s1－s2)]，代入数值即为
(，－v0t0)⑮
答案 (1)2t0 (2) (3)(，－v0t0)
方法技巧
求解带电粒子在交变复合场中运动问题的基本思路
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