1、第六章第三节一、选择题1(2022山西高校附中月考)在各项都为正数的等比数列an中,首项为3,前3项和为21,则a3等于()A15B12 C9D6答案B解析设公比为q(q0),则33q3q221,q2q60,q2,a3a1q23412.2(文)(2022宁夏银川市一中二模)已知等比数列an的公比大于1,a3a772,a2a827,则a12()A96B64C72D48答案A解析a2a8a3a772,a2a827,q1,q22,a12a8q496.(理)(2022山西重点中学四校联考)等比数列an满足an0,nN,且a3a2n322n(n2),则当n1时,log2a1log2a2log2a2n1(
2、)An(2n1)B(n1)2Cn2D(n1)2答案A解析a3a2n3a22n,an2n,log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2a2n1)log2a(2n1)log2ann(2n1)3(文)(2021北大附中河南分校月考)已知各项为正数的等比数列an中,a4与a14的等比中项为2,则2a7a11的最小值为()A16B8C2D4答案B解析由于a4a14(2)28,即a8,所以a92.则2a7a11a9q222a98,当且仅当a9q2,即q42时取等号,选B.(理)在由正数组成的等比数列an中,设xa5a10,ya2a13,则x与y的大小关系是()AxyBxyCxyD不确定答案C
3、解析xya1q(1q3)(q81)当q1时,xy;当q1时,1q30,xy0;当0q0而q810,xy0.故选C.4(文)已知an为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10()A7 B5 C5 D7答案D解析a4a72,a5a6a4a78a44,a72或a42,a74,a44,a72a18,a101a1a107,a42,a74a108,a11a1a107.(理)设an是公比为q的等比数列,令bnan1(n1,2,),若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中,则q等于()ABC或D或答案C解析集合53,23,19,37,82中的各元素减去1得到集合54,24,18,36,8
4、1,其中24,36,54,81或81,54,36,24成等比数列,q或.5一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列,其最小角的正弦值为()A.BC.D答案A解析设三内角AB0,sinA,故选A.点评在ABC中,由正弦定理a2RsinA、b2RsinB可知,abABsinA0,a58,a21,q38,q2,a1,S5.二、填空题7(2022河北衡水中学二调)在等比数列an中,若a7a8a9a10,a8a9,则_.答案解析,而a8a9a7a10,.8(2021浙江湖州中学)已知数列an是正项等比数列,若a132,a44,则数列log2an的前n项和Sn的最大值为_答案15解析a132,a44,q,a
5、n32()n1,log2anlog232()n15(n1)log26n,由6n0,得n6,前5项(或6项)和最大,S515.9假如一个n位的非零整数a1a2an的各个数位上的数字a1,a2,an或适当调整次序后能组成一个等比数列,则称这个非零整数a1a2an为n位“等比数”如124,913,333等都是三位“等比数”那么三位“等比数”共有_个(用数字作答)答案27解析适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类:(1)111,222,999;(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个;第(2)类“等比数”有3618个;因此,满足条件的三位“等比数”共有27个
6、三、解答题10(文)(2021合肥模拟)数列an的前n项和记为Sn,a1t,点(Sn,an1)在直线y3x1上,nN*.(1)当实数t为何值时,数列an是等比数列;(2)在(1)的结论下,设bnlog4an1,cnanbn,Tn是数列cn的前n项和,求Tn.解析(1)点(Sn,an1)在直线y3x1上,an13Sn1,an3Sn11,(n1,且nN*),an1an3(SnSn1)3an,an14an,n1.又a23S113a113t1,当t1时,a24a1,数列an是等比数列(2)在(1)的结论下,an14an,an14n,bnlog4an1n,cnanbn4n1n,Tnc1c2cn(401)
7、(412)(4n1n)(14424n1)(123n).(理)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn4an3(nN*)(1)证明:数列an是等比数列;(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*),且b12,求数列bn的通项公式解析(1)证明:由于Sn4an3,所以n1时,a14a13,解得a11.由于Sn4an3,则Sn14an13(n2),所以当n2时,anSnSn14an4an1,整理得anan1.又a110,所以an是首项为1,公比为的等比数列(2)由于an()n1,bn1anbn(nN*),所以bn1bn()n1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23()n11(n2),当
8、n1时符合上式,bn3()n11.一、选择题11(2021浙江桐乡四校期中)已知an是等比数列,其中a1,a8是关于x的方程x22xsinsin0的两根,且(a1a8)22a3a66,则锐角的值为()A.BC.D答案C解析由条件知,a3a6a1a8,(a1a8)22a3a66,4sin22sin6,为锐角,sin,.12(文)(2021泉州模拟)已知数列an满足a11,log2an1log2an1(nN*),且它的前n项和为Sn,则满足Sn1025的最小n值是()A9B10C11D12答案C解析由于a11,log2an1log2an1(nN*),所以an12an,即2,所以数列an是公比为2的
9、等比数列,所以an2n1,Sn2n1,则满足Sn1025的最小n值为11.(理)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,bn,且bn的前n项和为Tn,若对一切正整数n都有SnTn,则数列an的公比q的取值范围是()A0q1CqD1qTn,且Tn0,所以q21.由于an0对任意nN*都成立,所以q0,因此公比q的取值范围是q1.13在等比数列an中,an0(nN),公比q(0,1),且a1a52a3a5a2a825,又a3与a5的等比中项为2,bnlog2an,数列bn的前n项和为Sn,则当最大时,n的值等于()A8B9C8或9D17答案C解析a1a52a3a5a2a825,a2a3a5a25,又
10、an0,a3a55,又q(0,1),a3a5,a3a54,a34,a51,q,a116,an16()n125n,bnlog2an5n,bn1bn1,bn是以b14为首项,1为公差的等差数列,Sn,当n8时,0;当n9时,0;当n9时,0,当n8或9时,最大14(2022上海虹口二模)已知数列an是首项为a1,公差为d(0d2)的等差数列,若数列cosan是等比数列,则其公比为()A1B1C1D2答案B解析由于数列cosan是等比数列,所以cos2(a1d)cosa1cos(a12d)cos(a1dd)cos(a1dd)cos2(a1d)cos2dsin2(a1d)sin2d,所以sin2dco
11、s2(a1d)sin2(a1d)0,所以sin2d0,sind0,由于0d1),由已知,得即解得故数列an的通项为an2n1.(2)由(1)得a3n123n,bnlna3n1ln23n3nln2,又bn1bn3ln2,bn是以b13ln2为首项,以3ln2为公差的等差数列Tnb1b2bn即Tnln2.(理)(2022四川“联测促改”)学校餐厅每天供应500名同学用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有改选B菜;而选B菜的,下星期一会有改选A菜用an,bn分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数(1)试用an1(nN*,n2)表示an,推断数列an300是否成等比数列并说明理由;(2)若第1个星期一选A种菜的有200人,那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?解析(1)由题知,对nN*有bn500an,所以当nN*且n2时,anan1(500an1),即anan1150.an300(an1300),当a1300时,an300不是等比数列;当a1300时,an300是以a1300为首项,为公比的等比数列(2)当a1200时,an300()n1(a1300),即an300,a10300300.第10个星期一选A种菜的大约有300人