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第六章 第三节
一、选择题
1．(2022·山西高校附中月考)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项为3，前3项和为21，则a3等于( )
A．15 B．12
C．9 D．6
[答案] B
[解析] 设公比为q(q>0)，则3＋3q＋3q2＝21，∴q2＋q－6＝0，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
2．(文)(2022·宁夏银川市一中二模)已知等比数列{an}的公比大于1，a3a7＝72，a2＋a8＝27，则a12＝( )
A．96 B．64
C．72 D．48
[答案] A
[解析] a2a8＝a3a7＝72，a2＋a8＝27，∵q>1，
∴，∴q2＝2，∴a12＝a8q4＝96.
(理)(2022·山西重点中学四校联考)等比数列{an}满足an>0，n∈N＋，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
[答案] A
[解析] ∵a3·a2n－3＝a＝22n，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a2…a2n－1)＝log2a＝(2n－1)log2an＝n(2n－1)．
3．(文)(2021·北大附中河南分校月考)已知各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为( )
A．16 B．8
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 由于a4a14＝(2)2＝8，即a＝8，所以a9＝2.则2a7＋a11＝＋a9q2≥2＝2×a9＝8，当且仅当＝a9q2，即q4＝2时取等号，选B.
(理)在由正数组成的等比数列{an}中，设x＝a5＋a10，y＝a2＋a13，则x与y的大小关系是( )
A．x＝y B．x≥y
C．x≤y D．不确定
[答案] C
[解析] x－y＝a1q(1－q3)(q8－1)．
当q＝1时，x＝y；
当q>1时，1－q3<0而q8－1>0，x－y<0；
当0<q<1时，1－q3>0而q8－1<0，x－y<0.故选C.
4．(文)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
[答案] D
[解析] a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，
a4＝4，a7＝－2⇒a1＝－8，a10＝1⇒a1＋a10＝－7，
a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇒a1＋a10＝－7.
(理)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于( )
A．－ B．－
C．－或－ D．－或－
[答案] C
[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，
∴q＝－或－.
5．一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 设三内角A<B<C，
∵sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，
∴c2－a2＝ac，∴2＋－1＝0.
∵>0，∴＝＝sinA，故选A.
[点评] 在△ABC中，由正弦定理a＝2RsinA、b＝2RsinB可知，a<b⇔A<B⇔sinA<sinB.
6．(2021·石家庄五校联合体摸底)若各项均为正数的等比数列{an}满足a2＝1，a3a7－a5＝56，其前n项的和为Sn，则S5＝( )
A．31 B．
C. D．以上都不对
[答案] C
[解析] ∵a3a7＝a，a3a7－a5＝56，a5>0，∴a5＝8，
∵a2＝1，∴q3＝＝8，∴q＝2，a1＝，
∴S5＝＝.
二、填空题
7．(2022·河北衡水中学二调)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8·a9＝－，则＋＋＋＝________.
[答案] －
[解析] ∵＋＝，＋＝，而a8a9＝a7a10，
∴＋＋＋＝＝＝－.
8．(2021·浙江湖州中学)已知数列{an}是正项等比数列，若a1＝32，a4＝4，则数列{log2an}的前n项和Sn的最大值为________．
[答案] 15
[解析] ∵a1＝32，a4＝4，∴q＝，an＝32·()n－1，log2an＝log2[32·()n－1]＝5＋(n－1)log2＝6－n，
由6－n≥0，得n≤6，∴前5项(或6项)和最大，S5＝＝15.
9．假如一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)
[答案] 27
[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．
三、解答题
10．(文)(2021·合肥模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列；
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
[解析] (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1，(n>1，且n∈N*)，
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，n>1.
又∵a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，
bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋.
(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)证明：由于Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.
由于Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得an＝an－1.
又a1＝1≠0，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)由于an＝()n－1，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝()n－1.
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋
＝3·()n－1－1(n≥2)，
当n＝1时符合上式，∴bn＝3·()n－1－1.
一、选择题
11．(2021·浙江桐乡四校期中)已知{an}是等比数列，其中a1，a8是关于x的方程x2－2xsinα－sinα＝0的两根，且(a1＋a8)2＝2a3a6＋6，则锐角α的值为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 由条件知，
∵a3a6＝a1a8，(a1＋a8)2＝2a3a6＋6，
∴4sin2α＝－2sinα＋6，
∵α为锐角，∴sinα＝，∴α＝.
12．(文)(2021·泉州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，且它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是( )
A．9 B．10
C．11 D．12
[答案] C
[解析] 由于a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，即＝2，所以数列{an}是公比为2的等比数列，所以an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值为11.
(理)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有Sn>Tn，则数列{an}的公比q的取值范围是( )
A．0<q<1 B．q>1
C．q> D．1<q<
[答案] B
[解析] 由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝＝an，于是b1＋b2＋…＋bn＝(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝·Sn.又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝>1.由于an>0对任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公比q的取值范围是q>1.
13．在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于( )
A．8 B．9
C．8或9 D．17
[答案] C
[解析] ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5，
又q∈(0,1)，∴a3>a5，
∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，
∴q＝，a1＝16，an＝16×()n－1＝25－n，
bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，∴＝，
∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0，
∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．
14．(2022·上海虹口二模)已知数列{an}是首项为a1，公差为d(0<d<2π)的等差数列，若数列{cosan}是等比数列，则其公比为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
[答案] B
[解析] 由于数列{cosan}是等比数列，
所以cos2(a1＋d)＝cosa1·cos(a1＋2d)＝cos(a1＋d－d)·cos(a1＋d＋d)＝cos2(a1＋d)cos2d－sin2(a1＋d)sin2d，
所以sin2d[cos2(a1＋d)＋sin2(a1＋d)]＝0，
所以sin2d＝0，sind＝0，
由于0<d<2π，所以d＝π.
公比q＝＝＝－1.
二、填空题
15．(2022·湖南岳阳质检)已知数列{an}的首项为a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＝________，an＝________.
[答案] 2×()n－1
[解析] 由an＋1＝(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，可得an＋1＝Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，由此可知数列{Sn}是一个等比数列，其中首项S1＝a1＝2，公比为，所以Sn＝2×()n－1，
由此得an＝
16．(2022·辽宁抚顺六校联合体期中){an}为等比数列，若a3和a7是方程x2＋7x＋9＝0的两个根，则a5＝________.
[答案] －3
[解析] 由已知，得∴a3，a7均为负数，那么这个等比数列的奇数项应都为负数，
a5＝－＝－3.
三、解答题
17．(2021·沈阳铁路试验中学期中)设数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线y＝x－1上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差类dn的等差数列，求数列{}的前n项和Tn.
[解析] (1)由条件知，Sn＝an－1，
∴n≥2时，Sn－1＝an－1－1，
两式相减得，an＝an－an－1，
∴an＝3an－1，又a1＝S1＝a1－1，
∴a1＝2，
∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2×3n－1.
(2)由(1)知，an＝2×3n－1，an＋1＝2×3n，
∵an＋1＝an＋(n＋1)dn，∴dn＝，
∴＝，
∴Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得，Tn＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－，
∴Tn＝－.
18．(文)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)设数列{an}的公比为q(q>1)，
由已知，得
即
解得
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由(1)得a3n＋1＝23n，
∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2，
又bn＋1－bn＝3ln2，
∴{bn}是以b1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＝＝
即Tn＝ln2.
(理)(2022·四川“联测促改”)学校餐厅每天供应500名同学用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有改选B菜；而选B菜的，下星期一会有改选A菜．用an，bn分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数．
(1)试用an－1(n∈N*，n≥2)表示an，推断数列{an－300}是否成等比数列并说明理由；
(2)若第1个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？
[解析] (1)由题知，对n∈N*有bn＝500－an，
所以当n∈N*且n≥2时，
an＝an－1＋(500－an－1)，即an＝an－1＋150.
∴an－300＝(an－1－300)，
∴当a1＝300时，{an－300}不是等比数列；
当a1≠300时，{an－300}是以a1－300为首项，为公比的等比数列．
(2)当a1＝200时，an－300＝()n－1(a1－300)，即an＝300－，∴a10＝300－≈300.
∴第10个星期一选A种菜的大约有300人．
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