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第5讲 复 数
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝ ( )
A．1 B．2
C． D．
解析 ∵z(1＋i)＝2i，z＝＝1＋i，|z|＝．
答案 C
2．(2022·新课标全国Ⅰ卷)＝ ( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
解析 ＝＝－1－i，故选D．
答案 D
3．(2022·广东卷)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝ ( )
A．－3＋4i B．－3－4i
C．3＋4i D．3－4i
解析 z＝＝＝3－4i．故选D．
答案 D
4．(2022·大纲全国卷)设z＝，则z的共轭复数为 ( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
解析 z＝＝＝i(3－i)＝－i2＋3i＝1＋3i．
∴＝1－3i．
答案 D
5．(2021·合肥质量检测)已知复数z＝－2i，则的虚部为 ( )
A．i B．
C．i D．
解析 复数＝＝＝的虚部是，故选B．
答案 B
6．(2022·江西卷)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝ ( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z＋＝2，∴a＝1，∵(z－)i＝2，∴－2b＝2，b＝－1，∴z＝1－i，故选D．
答案 D
7．设z是复数，则下列命题中的假命题是 ( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析 举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C．
答案 C
8．(2022·成都诊断)设复数z＝3＋i(i为虚数单位)在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，则点B在 ( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由于复数z对应点的坐标为(3,1)，所以点A位于第一象限，所以逆时针旋转后对应的点B在其次象限，故选B．
答案 B
二、填空题
9．复数(i为虚数单位)的实部等于______．
解析 ∵＝＝－3－i，∴的实部为－3．
答案 －3
10．(2022·江苏卷)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析 由于z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i．所以z的实部为21．
答案 21
11．(2021·武汉调研)若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i(m为实数，i为虚数单位)是纯虚数，则m＝________．
解析 复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，所以解得m＝2．
答案 2
12．(2022·南京、盐城模拟)已知复数 z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为________．
解析 由z1z2＝(－2＋i)(a＋2i)＝－2a－2＋(a－4)i是实数得虚部a－4＝0，解得a＝4．
答案 4
13．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)，在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<．
答案
力量提升题组
(建议用时：10分钟)
14．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1．
其中的真命题为 ( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析 利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4．
答案 C
15．设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．很多个
解析 f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
答案 C
16．(2021·岳阳一中检测)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为________．
解析 ∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 013＝4×503＋1,
2 014＝4×503＋2，∴z＝＝＝＝＝＝i，对应的点为(0,1)．
答案 (0,1)
17．定义运算＝ad－bc．若复数x＝，y＝，则y＝________．
解析 由于x＝＝＝－i．
所以y＝＝＝－2．
答案 －2
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