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第一章 第一节
一、选择题
1．(文)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
[答案] B
[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，
∴A∩B＝{1}．
(理)(2021·江苏南通一模)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
[答案] B
[解析] ∵x∈A，∴B＝{，1，e}，∴A∩B＝{1}．故选B．
2．(文)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
[答案] A
[解析] ∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴∁U(A∪B)＝{6,8}．
(理)(2022·乌鲁木齐地区三诊)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )
A．{2,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}
[答案] A
[解析] ∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,4,5}．
3．设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )
A．[0,3] B．(2,3]
C．[3，＋∞) D．[1,3]
[答案] B
[解析] 由3x－x2≥0得，0≤x≤3，
∴A＝[0,3]，
∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，
∴A∩B＝(2,3]．
4．已知集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于( )
A．{3,0} B．{3,0,1}
C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}
[答案] B
[解析] 依据题意P∩Q＝{0}，所以log2a＝0，
解得a＝1从而b＝0，可得P∪Q＝{3,0,1}，故选B．
5．(2022·山西高校附中月考)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为( )
A．0 B．－2
C．0或－2 D．0或±2
[答案] C
[解析] 当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，∴x≠2；若x＝－2，则A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，满足题意，当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，∴x＝0或－2.
6．(文)(2021·山东潍坊一模)已知R为全集，A＝{x|(1－x)·(x＋2)≤0}，则∁RA＝( )
A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|x≤－2，或x≥1}
C．{x|－2<x<1} D．{x|－2≤x≤1}
[答案] C
[解析] ∵(1－x)(x＋2)≤0，即(x－1)(x＋2)≥0，
∴x≤－2或x≥1.∴A＝{x|x≤－2，或x≥1}．
∴∁RA＝{x|－2<x<1}，故选C．
(理)(2021·辽宁大连一模)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
[答案] B
[解析] 易知A＝{x|0≤x≤2}．
∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a∈(－∞，0]，故选B．
二、填空题
7．(文)已知集合A＝{(x，y)|x、y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y为实数，且y＝－x＋1}，则A∩B的元素个数为________．
[答案] 2
[解析] 集合A表示圆x2＋y2＝1上的全部的点，集合B表示直线y＝－x＋1上的全部的点，故A∩B表示圆与直线的交点．由于直线与圆相交，故这样的点有两个．
(理)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
[答案] {(0,1)，(－1,2)}
[解析] A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的全部点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．
8．(2022·长春市调研)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中有________个元素．
[答案] 6
[解析] ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素．
9．(文)若A＝{x|22x－1≤}，B＝{x|logx≥}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.
[答案] {x|0<x≤}
[解析] 由22x－1≤得，x≤－，
由logx≥得，0<x≤，
∴(∁RA)∩B＝{x|x>－}∩{x|0<x≤}
＝{x|0<x≤}．
(理)已知全集U＝R，函数y＝的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是________．
[答案] (－∞，－2)∪[3，＋∞)
[分析] 将阴影部分用已知集合表示是关键．
[解析] ∵M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N＝(1,3)．
阴影部分为(∁UN)∩M.
∴∁UN＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．
(∁UN)∩M＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．
三、解答题
10．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解析] 集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>，
即实数a的取值范围是(，＋∞)．
(2)当a＝0时，方程只有一解，此时A中只有一个元素；
当a≠0时，应有Δ＝0，
∴a＝，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素，
∴当a＝0或a＝时，A中只有一个元素，分别是和.
(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种状况，依据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．
一、选择题
11．(文)已知A、B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
[答案] D
[解析] 由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}冲突，故选D．
(理)已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝( )
A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}
C．[0,1] D．[0，]
[答案] D
[解析] ∵M＝[0，＋∞)，N＝[－，]，
∴M∩N＝[0，]，故选D．
[点评] 本题特殊易错的地方是将数集误认为点集．
12．(文)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于( )
A．A B．B
C．(∁UA)∩B D．A∩(∁UB)
[答案] B
[分析] 本题考查对集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出(A*B)*A表示的部分．
[解析] 画一个一般状况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B．
(理)(2021·青岛一模)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝( )
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
[答案] A
[解析] 由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]．
又B＝{y|y＝2x，x>0}＝(1，＋∞)，
∴A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)，故选A．
13．(2022·巢湖质检)设集合A＝{x|＋＝1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}
[答案] B
[解析] A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．
14．(文)(2022·湖北八校其次次联考)设集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中全部元素之和为8，则实数a的取值集合为( )
A．{0} B．{0,3}
C．{1,3,4} D．{0,1,3,4}
[答案] D
[解析] 由题意，若a≠3，则A＝{3，a}，B＝{1,4}．
∵1＋3＋4＝8，∴a＝0,1或4.
若a＝3，则A＝{3}满足题意，故a的取值集合为{0,1,3,4}．
(理)(2022·北京顺义第一次统考)设数集M同时满足条件：
①M中不含元素－1,0,1；
②若a∈M，则∈M.
则下列结论正确的是( )
A．集合M中至多有2个元素
B．集合M中至多有3个元素
C．集合M中有且仅有4个元素
D．集合M中有无穷多个元素
[答案] C
[解析] 由条件②可知，若a∈M，则∈M，则＝－∈M，＝∈M，
则＝＝a∈M；
由条件①可知a、、－、互不相等，故集合M＝{a，，－，}，有且仅有4个元素．
二、填空题
15．(文)(2021·湘潭模拟)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
[答案] 1
[解析] ∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.
(理)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，
∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.
16．(文)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
[答案] [2，＋∞)
[解析] ∵∁RB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
(理)(2022·兰州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m的值为________．
[答案] 0或2或3
[解析] 当m＝0时，B＝∅⊆A；
当m≠0时，由B＝{}⊆{2,3}可得
＝2或＝3，
解得m＝3或m＝2，
综上可得实数m＝0或2或3.
三、解答题
17．(文)(2022·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[分析] 由A∪B＝B，可以得出A⊆B，
而A⊆B中含有特例A＝∅，应留意．
[解析] 由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，
(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.
(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，
当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；
但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．
故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.
(理)(2022·临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．
[解析] ∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，
∴A＝{x|2<x<4}．
(1)当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要使A⊆B，
应满足⇒≤a≤2，
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}．要使A⊆B，
应满足不等式组无解，即不存在符合条件的a，
∴综上可知，当A⊆B时，a的取值范围是≤a≤2.
(2)要满足A∩B＝∅，
当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，
若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤2，
∴0<a≤或a≥4；
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，
若A∩B＝∅，则a≤2或a≥，
∴a<0；
验证知当a＝0时也成立．
综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.
(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，明显a>0且a＝3时成立，
∵此时B＝{x|3<x<9}，
而A∩B＝{x|3<x<4}，
故所求a的值为3.
18．(文)(2021·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(∁IM)∩N；
(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(∁IM)∩N＝{2}．
(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，
∵B∪A＝A，∴B⊆A，
∴B＝∅或B＝{2}．
当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3.
综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}．
(理)设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，恳求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析] 假设A∩B≠∅，则方程组
有正整数解，消去y得，
ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0.(*)
由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，
解得－≤a≤.
因a为非零整数，∴a＝±1，
当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，
而x∈N*.故a≠－1.
当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．
故存在a＝1，使得A∩B≠∅，
此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．
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