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函数图象例题分析
［例1］由图4—14所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）
图4—14
（｜φ｜＜π）的表达式.
选题意图：考查数形结合的思想方法.
解：由图象可知A＝2
又（－，0）为五点作图的第一个点
因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝
因此所求函数表达式为y＝2sin(2x＋)
说明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的过程中，A由函数的最值确定，ω由函数的周期确定，φ可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定.
图4—15
［例2］函数y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图4—15，求函数的表达式.
选题意图：考查数形结合的思想方法.
解：由函数图象可知A＝1
函数的周期为T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8
∴ω＝
又(－1，1)为“五点法”作图的其次个点
即（－1）＋φ＝，∴φ＝
∴所求函数表达式为y＝sin（x＋）
说明：假如利用点(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象上，得到
，则很难确定函数关系式中的A、ω、φ.
［例3］如图4—16，已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜的图象，那么
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－
C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝－
选题意图：考查数形结合的思想方法.
解：由(0，1)点在函数的图象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜
∴φ＝
又(，0)是“五点法”作图的第五个点
因此ω·＝2π，解得ω＝2.
答案：C
说明：在本题求ω的过程中，若利用(，0)在图象上，即sin（ω＋）＝0，则求出ω＝2或ω＝，很难推断我们所要选择的答案，因此图象上点的坐标适合关系式肯定要慎重使用.
［例4］画出函数，的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到此函数的图像．
解：函数的周期T=，先画出它在长度为的闭区间上的简图．
列表
X
0
2
0
2
0
－2
0
描点画图：描点，连接，依据这五个关键点画出函数．的简图（图4-37）
利用函数的周期性，可以把得到的在闭区间上的简图向左，右分别扩展，从而得到函数：．R的简图．
函数R的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到：
（1）先把的图像上全部的点向右平行移动个单位，得到的图像；再把的图像上的全部的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图像．
（2）先把函数的图像上全部的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图像；再把的图像上全部的点向右平行移动个单位，得到的图像．
评析：比较函数的图像和图像，简洁发觉，对于的图像上每一点，在的图像上总存在唯一一点和它对应，因此，R的图像．可以看作是先把正弦曲线上全部的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；也可以看作是先把正弦曲线上全部的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）再把所得各点向右平行移动个单位长度而得到．变换的次序可以转变．
一般有，函数．R，的图像，可以看作是用下面的两种方法得到的：
（1）先把正弦曲线上全部的点向左（当时）时或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当）到原来的A倍（横坐标不变）
（2）先把正弦曲线上全部的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当）到原来的A倍（横坐标不变），再把所得各点向左（（当）时）或向右（当时）平行移动个单位长度．
［例5］画出函数R的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到该函数的图像．
解：函数的周期，先画出它在长度为的闭区间上的简图．
列表：
X
0
2
0
1
0
－1
0
描点画图：描点、连接，依据五个关键点画出函数的简图，如图4-38所示．
利用函数的周期性，把它在上的简图向左、右分别扩展，就得到函数R的简图．
函数R的图像可以由正弦曲线经过下面的两种方式的变换得到：
（1）先把图像上全部的点向左平行移动个单位长度，得到的图像；再把的图像上全部的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像．
（2）先把的图像上全部点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像；再把的图像上全部的点向左平行移动个单位长度，得到的图像．
评析：比较函数的图像与的图像，不难看出，对于的图像上每一点，在的图像上总存在唯一一点和它对应，因此的图像，可以看作是先把正弦曲线上全部的点向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的；也可以看作是先把正弦曲线上全部的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）再把所得各点向左平行移动个单位而得到的．（变换次序可以转变）．
留意：在由的图像变换成的图像时，由于中的与2x中的x相对应，所以平移的是个单位，而不是个单位．（这里是同学经常消灭错误的地方，必需设法避开）．
一般地，函数R的图像，可以看作是用下面两种方法得到的：
（1）先把正弦曲线上全部的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）．
（2）先把正弦曲线上全部的点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度．
说明：讲例2和例3两题的目的有二：一是把本节课的学问引伸，二是为下节课作好预备，这样处理教学内容虽然本节课的难点增加了，难度加大了，但下一节课的难点分散了，难度降低了，实践证明这样做可以收到较好的教学效果，便于同学理解和把握．
［例6］将余弦曲线上每一点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，再将所得图像向右平移个单位，所得函数图像的一个解析式为___________________．
解一：先把的图像上全部的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图像；再把的图像上全部的点向右平移个单位，得到的图像．所求的解析式为．
解二：先把的图像上的全部的点向右平移个单位，得到的图像；再把的图像上全部的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，因此所求的解析式为.
［例7］把函数的图像上的每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位，所得到的曲线的解析式为，求的一个解析式．
分析：这个问题实际上是对的图像实施逆向变换得到的图像．
解：先把曲线上全部的点向右平移个单位，得到曲线
；
再把曲线上全部的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）以，得到曲线．因此，所求解析式为．
［例8］将正弦函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，所得图像的解析式为_______________________．
解：
先把的图像向左平移个单位，得到的图像，再把的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图像．因而所求的解析式为.
［例9］为了由函数的图像得到函数的图像，只要将函数的图像 ( )
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位．
解一：∵
将的图像向左平移个单位，得到的图像；再将的图像向左平移个单位，得到的图像．于是，把的图像向左平移个单位，就得到的图像．故选（A）
解二：令 得
令 得
点和点是函数的图像上和函数的图像上的对应点，平移方向从点点，所以向左平移个单位．
［例10］说明函数的图像经过怎样的变换就得到函数的图像．
分析：由于由的图像变换到函数的图像有如下两种方法．
（1）把函数的图像上全部的点向右平移个单位，再把所得各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），就得到函数的图像．
（2）把函数的图像上全部的点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平移个单位，就得到函数的图像．
分别作以上两种方法的逆向变换，就可以得到由函数的图像变换成函数的图像的方法．
解：（1）把函数的图像上全部的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移个单位，就得到的图像．
（2）把函数的图像上全部的点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图像．
评析：用作逆向变换的方法，可以得到由函数
R的图像及函数
R的图像变换到正弦曲线R的方法．这可让同学叙述．
说明：以上例题的讲解，都要留意以下几点：①让同学体会得三个参数中有两个变化就引起图像进行两种变换，进一步强化每个参数对图像变化的影响；②讲例题时仍旧要坚持“数形结合”的思想，强化同学的“数”与“形”的相互联系相互制约的意识；③让同学把握凡是用“图像变换法”画出的图像和解出的问题是否正确，都可以用“五点法”的方法进行检验．
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