2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：4.3平面向量的数量积.docx

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课时提升作业(二十六)
一、选择题
1.有下列四个命题：
①(a·b)2＝a2·b2；②|a＋b|>|a－b|；③|a＋b|2＝(a＋b)2；④若a∥b，则a·b＝|a|·|b|.其中真命题的个数是( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2.（2022·辽宁高考）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是( )
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
3.(2021·茂名模拟）若平面对量a=(1,-2)与b的夹角是180°，且|b|则b=( )
(A)（-3，6） (B)（3，-6）
(C)（-6，3） (D)（6，-3）
4.已知向量a,b,x,y满足|a|=|b|=1,a·b=0,且则|x|+|y|等于( )
（A） （B）
（C）2 （D）5
5．在△ABC中，则AB边的长度为( )
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
6.向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是( )
（A）(1，＋∞) （B）(－1,1)
（C）(－1，＋∞) （D）(－∞，1)
7.(2021·清远模拟）设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
（A）a⊥b （B）a∥b
（C）|a|＝|b| （D）|a|≠|b|
8．设i，j是相互垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，
(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )
（A）－2 (B)2
（C） (D)不存在
9.（2021·江门模拟）若向量a,b满足|a|=|b|=1，且（a+b）·b则向量a与b的夹角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
10.（力气挑战题）如图,已知点A（1,1）和单位圆上半部分上的动点B.且则向量的坐标为( )

（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
11．已知平面对量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则=__________.
12.(力气挑战题)在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足（θ∈R），则的最小值是__________．
13．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：①|a＋b|>1⇔θ∈②|a＋b|>1⇔θ∈③|a－b|>1⇔θ∈④|a－b|>1⇔
θ∈其中真命题的序号是__________．(写出全部真命题的序号)
14．（2021·梅州模拟）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________.
三、解答题
15．已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，
(1)求D点的坐标.
（2）设＝(m,2)，若与垂直，求的坐标.

答案解析
1.【解析】选A.①(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≤|a|2·|b|2＝a2·b2；
②|a＋b|与|a－b|大小不确定；
③正确；
④a∥b，当a,b同向时有a·b＝|a|·|b|；当a，b反向时有a·b＝-|a|·|b|.故不正确.
2.【思路点拨】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.
【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.
【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为那么下列结论中确定成立的是( )
（A）a=b （B）|a|=|b|
（C）a⊥b （D）a∥b
【解析】选B.由条件得（a+b）·（a-b）=a2-b2=0，故可得|a|=|b|.
3.【解析】选A.设b=(x,y),
则x2+y2=45 ①.
∵a与b夹角为180°，
∴b与a共线且反向,
y+2x=0 ②.
将②代入①得，x=±3.又a与b反向，
∴x=-3，y=6，故选A.
4.【解析】选B.由所给的方程组解得

5．【思路点拨】依据数量积的定义计算，并结合解三角形的学问得到结果.
【解析】选B.过点C作AB的垂线，垂足为D.
由条件得同理BD=2.
故AB=AD+DB=3.
6.【解析】选C.∵a与a＋2b同向，
∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，
则有又∵|a|

∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.
7.【解析】选A.f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．
而(x a＋b)·(a－xb)
＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，
故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，
∴a⊥b，故应选A.
8．【解析】选A.以i,j的方向为x,y轴正方向建立坐标系，由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，
∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．
∵(a＋b)⊥(a－b)，
∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，
解之得m＝－2.
9.【解析】选C.由|a|=|b|=1，（a+b）·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉+|b|2=cos〈a,b〉+1可得cos〈a,b〉
又由0°≤〈a,b〉≤180°，可得向量a与b的夹角为60°.
10.【解析】选B.依题意设B（cos θ,sin θ）,0≤θ≤π.
则=（1,1）, =（cos θ,sin θ） ,
由于所以
即cos θ+sin θ=0,
解得
所以
【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键，进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标，可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.
11．【思路点拨】依据条件求出向量的夹角，进而寻求向量坐标间的关系，化简求值即可.
【解析】设a,b的夹角为θ,
则a·b=|a||b|cos θ=-6,
∴cos θ=-1,∴θ=180°.
即a,b共线且反向,
又∵|a|=2,|b|=3，

答案：
12.【思路点拨】依据所给条件推断出点P的位置，转化为函数问题来解决.
【解析】由于且sin2θ,cos2θ∈［0,1］，所以即
则所以点P在线段OC上，
故
设=t（t∈［0,2］），
则=2t（2-t）·（-1）=2t2-4t=2（t-1）2-2.
当t=1时取最小值-2.
答案：-2
【误区警示】本题简洁因不能用向量的线性运算而得到向量共线的充要条件，即点P在线段OC上而导致解题错误或无法解题.
13．【解析】由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b>故θ∈
当θ∈时，a·b>|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1，①正确.
由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b故θ∈反之也成立.④正确.
答案：①④
【方法技巧】解决向量模的有关问题的常用方法
解决向量模的问题时，常用的方法是将所给条件两边平方，利用|a|2=a·a将问题转化为向量的数量积的计算问题，进而转化为数的运算问题.
14．【解析】如图所示，设OM=x，
∵AM=2，则OA=2-x，
则
=-2(2-x)·x
=-4x+2x2
=2（x-1）2-2(0≤x≤2).
当x=1时，的最小值为-2.
答案：-2
15．【解析】(1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x＋1，y).
由题得

∴D点的坐标为(－2,3)或(2,1).
（2）＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，
＝(m,2)，
∵与垂直，

∴m＋14＝0.
∴m＝－14.
∴＝(－14,2).
【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=（-1,2），又点A（8,0），B（n,t）,
C（ksin θ,t）（0≤θ≤）.
(1)若且 (O为坐标原点),求向量
(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值4时,求
【解析】(1)可得=（n-8,t）,
∵
∴=（n-8,t）·（-1,2）=0,
得n=2t+8.
则=（2t,t）,
又
∴（2t）2+t2=5×64,解得t=±8,
当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.
∴=（24,8）或=（-8,-8）.
(2)∵向量与向量a共线,
∴t=-2ksin θ+16,
tsin θ=（-2ksin θ+16）sin θ

∵k>4,故当时,tsin θ取最大值有得k=8.
这时, k=8,tsin θ=4,得t=8,
则=（4,8）.
=（8,0）·（4,8）=32.
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