2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第四章-第一节平面向量的概念及其线性运算.docx

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课时提升作业(二十五)
一、选择题
1.下列命题中是真命题的是　(　　)
①对任意两向量a,b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|;
②对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;
③在△ABC中,+-=0;
④在四边形ABCD中,(+)-(+)=0;
⑤在△ABC中,-=.
(A)①②③ (B)②④⑤
(C)②③④ (D)②③
2.如图所示,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则等于　(　　)

(A)a+b (B)-a+b
(C)a+b (D)-a+b
3.(2021·广州模拟)给出下列命题:
①两个具有公共起点的向量,确定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③λa=0(λ为实数),则λ必为零.
其中错误命题的个数为　(　　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.(2021·中山模拟)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,那么　(　　)
(A)= (B)=2
(C)=3 (D)2=
5.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中{an}为等差数列,则a2011等于　(　　)
(A)-1 (B)1 (C)- (D)
6.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是　(　　)
(A)|a+b|≤|a|+|b|
(B)|a|-|b|≤|a+b|
(C)|a|-|b|≤|a|+|b|
(D)|a|≤|a+b|
7.(2021·河源模拟)已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若+2=3,则的值为　(　　)
(A) (B) (C) (D)
8.在△ABC中,=2,=m+n,则的值为　(　　)
(A)2 (B) (C)3 (D)
9.(2021·绥化模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点,且=+t,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是　(　　)
(A)0<t< (B)0<t<
(C)0<t< (D)0<t<
10.(力气挑战题)设A1,A2,A3,A4,A5是平面上给定的5个不同点,则使++++=0成立的点M的个数为　(　　)
(A)0 (B)1 (C)5 (D)10
二、填空题
11.如图,在正六边形ABCDEF中,已知=c,=d,则=
　　　(用c与d表示).
12.(2021·东莞模拟)设a,b是两个不共线向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为　　　　.
13.给出以下命题:
①对于实数p和向量a,b,恒有p(a-b)=pa-pb;
②对于实数p,q和向量a,恒有(p-q)a=pa-qa;
③若pa=pb(p∈R),则a=b;
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.
其中正确命题的序号为　　　.
14.(2021·汕头模拟)在□OADB中,设=a,=b,AB与OD交于C点,又=x,=y,若=a-b,则x+y=　　　　　　.
三、解答题
15.(力气挑战题)如图,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=AC,在AB上取点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取一点Q,使MQ=λCM时,=,试确定λ的值.

答案解析
1.【解析】选D.①假命题.∵当b=0时,|a|-|b|=|a|+|b|,∴该命题不成立.
②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,
∴a-b与b-a是相反向量.
③真命题.∵+-=-=0,
∴命题成立.
④假命题.∵+=,+=,
∴(+)-(+)
=-=+≠0,
∴该命题不成立.
⑤假命题.∵-=+=≠,
∴该命题不成立.
2.【思路点拨】结合图形,依据三角形法则把未知向量一步步地转化为已知向量进行求解.
【解析】选B.=+
=+=+(+)
=++
=-+×=-+(+)
=-+=-a+b.
3.【解析】选C.①有公共起点的向量方向不愿定相同或相反,错误.
②正确.
③a=0时,λ可不为零,③错误.
4.【解析】选A.∵D为BC边的中点,
由2++=0可知+=-2=2,所以O是底边BC上的中线AD的中点,故=.
5.【解析】选D.由于A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011=
6.【解析】选D.由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,则D不成立.
【误区警示】解答本题时简洁忽视向量共线的情形.
7.【解析】选A.由+2=3,得-=2-2,即=2,所以||=2||,
故=.
8.【解析】选B.方法一:=+=+
=+(-)=+,
∴m=,n=,=.
方法二:∵=2,
∴-=2(-),
∴=+,得m=,n=.∴=.
【变式备选】如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　(　　)

(A)4 (B)5 (C)6 (D)8
【解析】选C.过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,
||=2,得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=4+2=6.
9.【解析】选D.如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,
由=+t可知,
P点落在EF上,而=,
∴点P在E点时,t=0,
点P在F点时,t=.而P在△ABC的内部,
∴0<t<.
10.【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.
【解析】选B.在平面中我们知道“三角形ABC的重心G满足:++=0”则此题就能很快地答出,点M即为这5个点连线组成的平面图形的重心,即点M只有一个.
11.【解析】连接BE,CF,设它们交于点O,则=d-c,
由正六边形的性质得===d-c.
又=d,
∴=+=d+(d-c)=d-c.
答案:d-c
12.【解析】+==2a-b.
若A,B,D三点共线,则=λ(λ≠0),
得2a+pb=λ(2a-b),
∴λ=1,p=-λ,
∴p=-1.
答案:-1
13.【解析】依据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确;③不愿定成立,由于当p=0时,pa=pb=0,而不愿定有a=b.
答案:①②④
14.【解析】依题意有=(a+b),=(b-a),
=a+b=a-b,有⇒x+y=.
答案:
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧
平面对量的学问在解决平面几何中的问题时应用格外广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要留意图形中的线段、向量是如何相互转化的.
15.【解析】=-=(-)=(+)=.
=-=-λ=+λ.
又=,
∴+λ=,
∴λ=(-)=,
∴λ=.
【变式备选】如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
【解析】设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,
使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而=+=2e1+3e2,
∴∴
∴=,∴=,
即AP∶PM=4.

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