2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：4.4平面向量应用举例.docx

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课时提升作业(二十七)
一、选择题
1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4= ( )
(A)(-1,-2) (B)(1,-2)
(C)(-1,2) (D)(1,2)
2.在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A，B，C的对边，设向量m=(b-c,c-a)，n=(b,c+a)，若m⊥n，则角A的大小为( )
(A) (B)
(C) (D)
3.设P是曲线上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则=( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.（2021·惠州模拟）已知O是△ABC内部一点，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为( )
(A) (B) (C) (D)
5.（2021·佛山模拟）已知向量a,b，其中|a|=|b|=2，且（a-b）⊥a，则向量a和b的夹角是( )
(A) (B) (C) (D)π
6.圆C：x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B，若 (其中O为坐标原点），则k的取值范围是( )
（A） （B）
（C） （D）
7.设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3,AC=6，则的值为( )

(A)6 (B)8 (C)10 (D)4
8.已知偶函数f(x)满足:f(x)=f(x+2)，且当x∈［0,1］时，f(x)=sin x，其图象与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,…，则等于( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
9.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边.若向量m=(2,0)与n=(sin B,
1-cos B)的夹角为则角B的大小为( )
(A) (B)
(C) (D)
10.(力气挑战题）已知圆O(O为坐标原点)的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，A,B为两切点，那么的最小值为( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
11.（2021·东莞模拟）设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，定义一种向量运算：ab
=(a1b1,a2b2)，已知m=n=点P（x0,y0）在函数g(x)=sin x的图象上运动，点Q(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，且满足(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最大值是________.
12.设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,a·b=0，以|a|,|b|,|a+b|为边长构成三角
形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________个.
13.（力气挑战题）已知开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴为x=2，设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1)，b=(1,2).则不等式f(a·b)＜f(5)的解集为________．
14．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________.
三、解答题
15．已知△ABC中，
（1）求
（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)＜x＜0，求sin x.

答案解析
1.【思路点拨】物体平衡，则所受合力为0.
【解析】选D.由物理学问知: f1+f2+f3+f4=0,
故f4=-（f1+f2+f3）=（1,2）.
2.【解析】选C.由m⊥n得m·n=b(b-c)+(c-a)(c+a)=0，
整理得b2+c2-a2=bc，

又A为三角形的内角，

3.【解析】选C.设则

4.【解析】选B.由为△ABC重心.又=2⇒bccos∠BAC=2,∠BAC=60°⇒bc=4⇒且重心O与△ABC各顶点的连线将△ABC面积三等分⇒选B.
5.【解析】选A.由题意知（a-b）·a=a2-a·b=2-a·b=0，∴a·b=2.设a与b的夹角为θ，则0≤θ≤π,所以故选A.
6.【思路点拨】利用进行转化.
【解析】选D.由两边平方化简得∴∠AOB是钝角，
所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于
或故选D.
【方法技巧】向量与解析几何综合题的解答技巧
平面对量与解析几何相结合主要从以下两个方面进行考查：一是考查向量，需要把用向量语言描述的题目条件转化成几何条件，涉及向量的线性运算，共线、垂直的条件应用等；二是利用向量解决几何问题，涉及推断直线的位置关系，求角的大小及线段长度等.
7.【解析】选C.

8.【解析】选B.依题意P1,P2,P3,P4四点共线，与同向，且P1与P3，P2与P4的横坐标都相差一个周期，所以
【误区警示】解答本题时简洁忽视与共线而导致无法解题.
9.【思路点拨】利用m,n的夹角求得角B的某一三角函数值后再求B的值.
【解析】选B.由题意得

即
∴2sin2B=1-cos B,
∴2cos2B-cos B-1=0,
或cos B=1(舍去).
∵0＜B＜π,
10.【思路点拨】引入挂念量，利用向量数量积的定义求得再利用不等式求最值.
【解析】选D.设∠APB＝θ，则则 当且仅当即时，取“＝”，故的最小值为
11.【解析】由得
（x,y）=
即消去x0，得
即
∴函数f(x)的最大值是2.
答案：2
【变式备选】若平面对量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以表示向量α,β的线段为邻边的平行四边形的面积为则α与β的夹角θ的取值范围是_________.
【解析】由S=|α|·|β|sin θ=|β|sin θ可得，
故θ∈
答案：
12.【解析】可得|a+b|=设该三角形内切圆的半径为r，则(4-r)+(3-r)=5，解得r=1.
∴对于半径为1的圆有一个位置正好是三角形的内切圆，此时只有3个公共点，圆的位置稍作移动，则能实现4个交点，但不能得到5个或5个以上的交点.
答案：4
13.【思路点拨】由条件求得a·b，利用单调性将问题转化为解不等式的问题.
【解析】由题意知f(x)在［2,+∞)上是增函数，
∵a·b=|x+2|+|2x-1|+2＞2,
∴f(a·b)＜f(5)⇒a·b＜5⇒|x+2|+|2x-1|＜3 (*)
①当x≤-2时，不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)＜3，

此时x无解；
②当时，不等式(*)可化为
x+2-(2x-1)＜3,∴x＞0,
此时
③当时，不等式(*)可化为
x+2+2x-1＜3,
此时
综上可知不等式f(a·b)＜f(5)的解集为
答案：
14．【解析】如图所示，渡船速度为水流速度为

船实际垂直过江的速度为依题意知

∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.
答案：北偏西30°
15．【解析】（1）由已知即

∵∴CD⊥AB，
在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2,
又CD2=AC2-AD2,
∴BC2=BD2+AC2-AD2=196，

（2）在△ABC中，

即

而所以
则

【变式备选】已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0),
（1）若求向量a,c的夹角.
（2）当x∈时，求函数f(x)=2a·b+1的最大值.
【解析】（1）当时，

（2）f(x)=2a·b+1
=2(-cos2x+sin xcos x)+1
=2sin xcos x-(2cos2x-1)
=sin 2x-cos 2x

故
∴当即时，f(x)max=1.
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