湖北省宜昌一中2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案.docx

宜昌市一中2022年秋季学期高一班级期末考试
数 学 试 题
时间：120分钟 满分：150分
命题：吴启明 审题：肖华
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题部分，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，,则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知点和向量，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如右图给出了函数，，，的图象，则与函数，，，依次对应的图象是（ ）
A．①②③④ B．①③②④
C．②③①④ D．①④③②
6. 设﹑为钝角，且，，则的值为 ( )
A． B． C． D．或
7. 设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观看，函数的图象可以近似地看成函数的图象.
依据上述数据，函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
9．在中，,且,点满足，则（ ）
A． B． C． D．
10. 函数是定义域为的偶函数，当时， ， 若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题部分，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．计算_________.
12．函数，的单调递减区间是 .
13．若，，，，则 ．
14．已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为 ．
15.以下命题：
①已知函数为幂函数，则；
②向量在向量方向上的投影为；
③函数的零点有2个；
④若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为.
全部真命题的序号是______________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16. (本题12分) 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求向量；
（2）若，且与垂直，求向量与向量的夹角的余弦值.

17. (本题12分)已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心，
（1）试求的值；
（2）先列表，再作出函数在区间上的图象．

18．（本题12分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数取得最大值时的集合；
（3）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

19. (本题12分)在中，设与的夹角为，已知，
且。
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值.

20. (本题13分) 如图，一中新校区有一块矩形草地，要在这块草地上开拓一个内接四边形建体育馆（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝（），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝，阴影部分面积为.
（1）求关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）当为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？

21. (本题14分)
已知集合 ，集合
．
（1）当时，推断函数是否属于集合？并说明理由．若是，则求出区间；
（2）当时，若函数，求实数的取值范围；
（3）当时，是否存在实数，当时，使函数，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．
宜昌市一中2022年秋季高一数学期末试题
参考答案
命题人：吴启明 审题人：肖华
一、 选择题
CDACB CADAB
二、填空题
11、 12、 13、 14、 15、①②④
三、解答题
16、解：（Ⅰ），可设，
∴，，
∴
∴或. ……… 6分
（Ⅱ）∵与垂直，∴，即
∴，∴，
所以与的夹角的余弦值 ……… 12分
17、解：
（1）点是函数图象的一个对称中心， ∴
∴ ∵ ∴， ………6分
（2） 由（1）知， 列表如下

0

0
－1
1
3
1
0

……………………………………………………………9分（留意确定要列表）

则函数在区间上的图象如图所示。…………12分
18、解：………3分
(1) 单调递增区间为………6分
(2) 函数取得最大值的集合为 ………9分
(3) 先将函数的图象向右平移个单位；再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍； 再横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍；最终整个图象向上平移1个单位。或者先将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍；再将图象向右平移个单位；再横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍；最终整个图象向上平移1个单位。…12分
19、 解：（1）∵ （1）
（2）
由得， ∵ 为与的夹角 ∴ ………6分
（2）
………9分
由于在内是增函数………11分
∴ （当且仅当时等号成立）………12分

20、 解：

∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函数的定义域为 ..............7分
（2）当，即a<6时，则x＝时，y取最大值。
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2) x，
在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4. ...............12分
综上所述：当a<6时，x＝时，阴影部分面积最大值是；
当a≥6时，x＝2时，阴影部分面积最大值是2a－4. ...............13分
21、解： (1)的定义域是，在上是单调增函数．
∴在上的值域是．由 解得：
故函数属于集合，且这个区间是 ． …………5分
(2) 设，则易知是定义域上的增函数．
，存在区间，满足，．
即方程在内有两个不等实根． 方程在内有两个不等实根，令则其化为:即有两个非负的不等实根, 从而有:； …………10分
（3），且，所以
①当时，在上单调减，
，

…………12分
②，由，可得且，所以x=1处取到最小值,x=a取到最大值，所以，，
∵ ∴
综上得： …………14分