【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.4.docx

第八章 8.4 第4课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中逆命题不成立的是(　　)
A．当c⊥α时，若α∥β时，则c⊥β
B．当b⊂β，c是a在β内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
C．当b⊂β时，若b⊥α，则β⊥α
D．当b⊂α，c⊄α时，若c∥α，则b∥c
答案　C
解析　本题考查依据原命题写出其逆命题及空间想象与推理论证力气；
A．其逆命题为当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β，明显垂直于同始终线的两平面平行，逆命题正确；
B．其逆命题为当b⊂β时，c是a在β内的射影，若a⊥b，则b⊥c，此为三垂线定理内容，逆命题正确；
C．其逆命题为当b⊂β时，若β⊥α，则b⊥a，明显两平面垂直，其中一平面内任始终线不愿定垂直另一平面，逆命题错误；
D．其逆命题为当b⊂α，c⊄α时，若b∥c，则c∥α，此为线面平行的推断定理，逆命题正确．
2．下列命题中正确的个数是(　　)
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有很多个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④假如两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　a∩α＝A时，a不在α内，

∴①错；直线l与α相交时，l上有很多个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确．
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题，其中正确的两个命题是(　　)
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α⊥β.
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
答案　D
解析　①中α∥β则l⊥β，又m⊂β，
∴l⊥m成立．③中l∥m则m⊥α，又m⊂β，∴β⊥α成立．
4．下列命题中，是假命题的是(　　)
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
答案　D
解析　D错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，假如一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β＝l.

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
答案　B
解析　连结CD1，在CD1上取点P，使D1P＝，
∴MP∥BC，PN∥AD1
∴MP∥面BB1C1C，PN∥面AA1D1D，
∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.
6．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m，又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α，又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对，选B.
二、填空题
7．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出全部符合要求的图形序号)．

答案　①③
8.

如图在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案　M∈线段FH
解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，
∴平面NHF∥平面B1BDD1.
故线段FH上任一点M与N相连，
都有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.
9．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．
①⇒l∥α；②⇒l∥α；③⇒l∥α.
答案　l ⊄ α
解析　①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”，即“l⊄α”，它也同样适合②③，故填l⊄α.
10．在四周体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四周体的四个面中与MN平行的是________．
答案　平面ABC和平面ABD
解析　连结AM并延长交CD于E；连结BN并延长交CD于F.由重心的性质可知；E、F重合为一点，且该点为CD的中点E.由＝＝得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
11．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有________．(把全部的真命题全填上)
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线，⑤x，y为平面，z为直线．
答案　③⑤
解析　①直线x可能在平面y内；②平面x与y可能相交；④直线x与y可能相交，也可能异面，故③⑤正确．
三、解答题
12．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.
求证：PQ∥平面BCE.
证明　方法一　如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD.
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB，
又∵PM∥AB∥QN，
∴＝，＝，
∴PM綊QN，
即四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.
又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法二　

如图所示，连结AQ，并延长交BC于K，连结EK，
∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
∴＝①
又∵AD∥BK，∴＝②
由①②得＝，∴PQ∥EK.
又PQ⊄平面BEC，EK⊂面BEC，
∴PQ∥平面BEC.
方法三　

如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连结QM.
∵PM∥BE，即PM∥平面EBC，
∴＝①
又∵AP＝DQ，PE＝BQ，
∴＝②
由①②得＝，∴MQ∥AD，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面EBC.
又∵PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面EBC，
∴PQ∥平面EBC.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.

证明　方法一　取CD中点E，
连结NE、ME.

∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，ME∥AD.
∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD.
又NE∩ME＝E，
∴平面MNE∥平面PAD.
又MN⊂平面MNE，
∴MN∥平面PAD.
方法二　取PD中点F，连结AF、NF.

∵M、N分别为AB、PC的中点，
∴NF綊CD，AM綊CD，
∴AM綊NF.
∴四边形AMNF为平行四边形，
∴MN∥AF.
又AF⊂平面PAD，
MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
证明　方法一　

如图(1)所示，连结B1D1.
∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
又PN⊄平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.
同理：MN∥平面A1BD.
又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
方法二　如图(2)所示，连结AC1，AC，

∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AC⊥BD.
又CC1⊥平面ABCD，
∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，
∴AC1⊥BD.
同理可证AC1⊥A1B，
∴AC1⊥平面A1BD.
同理可证AC1⊥平面PMN.
∴平面PMN∥平面A1BD.

15．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．
解析　(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.
又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．
当＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.
又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，
∴DE∥AA1，且DE＝AA1.
∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.
而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.