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[学业水平训练]
1．下列说法正确的是( )
A．大事A、B中至少有一个发生的概率确定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．大事A、B同时发生的概率确定比大事A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥大事确定是对立大事，对立大事不愿定是互斥大事
D．互斥大事不愿定是对立大事，对立大事确定是互斥大事
解析：选D.由互斥大事和对立大事的定义易知，D正确．
2．假如大事A、B互斥，记、分别为大事A、B的对立大事，那么( )
A．A∪B是必定大事 B．∪是必定大事
C．与确定互斥 D．与确定不互斥
解析：选B.用Venn图解决此类问题较直观，如图所示，∪是必定大事．
3．(2022·淄博高一检测)某小组有5名男生和3名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛，那么互斥不对立的两个大事是( )
A．至少有1名男生与全是女生
B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生
D．恰有1名男生与恰有2名女生
解析：选D.A中两大事互斥且对立，B、C中两个大事能同时发生故不互斥，D中两大事互斥不对立，故选D.
4．一组试验仅有四个互斥的结果A、B、C、D，则下面各组概率可能成立的是( )
A．P(A)＝0.31，P(B)＝0.27，P(C)＝0.28，P(D)＝0.35
B．P(A)＝0.32，P(B)＝0.27，P(C)＝0.06，P(D)＝0.47
C．P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝
D．P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝
解析：选D.由已知得P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，故选D.
5．(2022·延边高一检测)掷一枚骰子的试验中，毁灭各点的概率均为.大事A表示“小于5的偶数点毁灭”，大事B表示“小于5的点数毁灭”，则一次试验中，大事A＋(表示大事B的对立大事)发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意可知表示“大于等于5的点数毁灭”，大事A与大事互斥．由概率的加法公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故选C.
6．(2022·临沂高一检测)一个盒子中有10个相同的球，分别标有号码1，2，3，…，10，从中任选一球，则此球的号码为偶数的概率是________．
解析：取2号，4号，6号，8号，10号是互斥大事，且概率均为，故有＋＋＋＋＝.
答案：
7．(2022·合肥高一检测)为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间乐观提倡反对地方贸易疼惜主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求的概率为______．
解析：设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为大事A，“不到4年达到要求”为大事B，则“进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求”是大事A＋B，而A，B互斥，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
答案：0.79
8．若A，B为互斥大事，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．
解析：∵A，B为互斥大事，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B), ∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
答案：0.3
9．(2022·台州高一检测)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
10．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中其次个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
解：设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、其次及第三个军火库这三个大事，大事D表示军火库爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又由于只投掷了一枚炸弹，故不行能炸中两个及以上军火库，所以A、B、C是互斥大事，且D＝A∪B∪C，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.
[高考水平训练]
1．(2022·北京西城一模)如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成果是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成果是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)，令90>(442＋x)，解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为＝.
2．甲射击一次，中靶概率是p1，乙射击一次，中靶概率是p2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为______；乙射击一次，不中靶概率为______．
解析：由p1满足方程x2－x＋＝0知，p－p1＋＝0，解得p1＝；由于，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得p2＝.因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
答案：
3．猎人在相距100 m处射击一野兔，命中的概率为，假如第一次未击中，则猎人进行其次次射击，但距离已是150 m，假如又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
解：设距离为d，命中的概率为P，则有P＝，将d＝100，P＝代入，得k＝Pd2＝5 000，所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为大事A1、A2、A3，则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.
4．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的学问竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率P(D)＝，假如将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D竞赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
解：假如三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝>P(D)＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；假如三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．
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