具有两阶段结构的登革热传染病时滞动力学模型.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1378-1390 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134129 文章引用文章引用:杨艳红,刘贤宁.具有两阶段结构的登革热传染病时滞动力学模型J.应用数学进展,2024,13(4):1378-1390.DOI:10.12677/aam.2024.134129 具有两阶段结构的登革热传染病时滞动力学具有两阶段结构的登革热传染病时滞动力学 模型模型 杨艳红杨艳红，刘贤宁刘贤宁 西南大学数学与统计学院，重庆 收稿日期：2024年3月19日；录用日期：2024年4月15日；发布日期：2024年4月22日 摘摘 要要 建立了一类幼年个体与成年个体因户外活动时间不同而造成被媒介个体叮咬的概率不同以及媒介个体具建立了一类幼年个体与成年个体因户外活动时间不同而造成被媒介个体叮咬的概率不同以及媒介个体具有潜伏期的登革热传染病时滞动力学模型。有潜伏期的登革热传染病时滞动力学模型。首先给出了模型的基本再生数首先给出了模型的基本再生数R0，并证明了正平衡点的唯一并证明了正平衡点的唯一存在性。其次存在性。其次，通过构造通过构造Lyapunov泛函泛函，证明了无病平衡点的全局稳定性，证明了时滞参数证明了无病平衡点的全局稳定性，证明了时滞参数=0时地时地方病平衡点的全局稳定性方病平衡点的全局稳定性；结合结合cardon公式给出了时滞参数公式给出了时滞参数=0时地方病平衡点局部渐进稳定的条件和时地方病平衡点局部渐进稳定的条件和系统存在系统存在Hopf分支的条件。最后通过数值模拟验证了结论。分支的条件。最后通过数值模拟验证了结论。关键词关键词 应用数学，外潜伏期，登革热传染病，基本再生数，全局稳定性，应用数学，外潜伏期，登革热传染病，基本再生数，全局稳定性，Hopf分支分支 A Time-Delay Dynamic Model of Dengue Fever Infection with Two-Stage Structure Yanhong Yang,Xianning Liu School of Mathematics and Statistics,Southwest University,Chongqing Received:Mar.19th,2024;accepted:Apr.15th,2024;published:Apr.22nd,2024 Abstract A time-delay dynamic model of dengue fever infection was established,in which the probability of being bitten by a vector was different between young and adult due to the different time of out-door activities and the vector had an incubation period.Firstly,the basic regeneration number R0 of the model is given,and the unique existence of the positive equilibrium point is proved.Secondly,by constructing Lyapunov functional,the global stability of disease-free equilibrium point is proved,and the global stability of endemic equilibrium point with delay parameter =0 is proved;com-bined with cardon formula,the conditions of local asymptotic stability of endemic equilibrium point 杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1379 应用数学进展 with delay parameter =0 and the condition of Hopf branch are given.Finally,the results are veri-fied by numerical simulation.Keywords Applied Mathematics,Extrinsic Incubation Period,Dengue Infectious Disease,Basic Regeneration Number,Global Stability,Hopf Burfication Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.模型建立的背景模型建立的背景 登革热是一种由登革热病毒引起虫媒传播的传染病，病毒有四种血清型，由埃及伊蚊和白纹伊蚊叮咬传播1，从 20 世纪 50 年代起，登革热已成为世界公共卫生问题，是世界上分布最广、患者最多的虫媒传染病2。学者 Esteva 和 Vargas 3第一次建立登革热在恒定人群和可变媒介种群中传播的模型。此后有许多学者对登革热的传播进行建模研究，文献4是 2012 年之前关于登革热建模研究的框架。文献5 6考虑了抗体依赖性增强和登革热疫苗以及交叉免疫对登革热传染病的影响。文献7考虑了具有隐形感染的登革热传染病模型。文献8考虑了疫苗接种的两个年龄段的登革热传播模型。文献9考虑了儿童户外活动时间比成年人长，造成了虫媒的叮咬率不同，但是忽略了虫媒的外潜伏期。文献10建立传染病模型时考虑了虫媒的外潜伏期对虫媒传染病的影响。于是，我们结合上述文献9考虑了成年个体与幼年个体因叮咬率不同造成的不同的疾病发生率以及媒介个体的外潜伏期10，建立了如下传染病模型。分析了模型平衡点的存在性和稳定性，并给出了模型在地方病平衡点处产生 Hopf 分支的条件。2.模型的建立模型的建立 2.1.建立如下模型建立如下模型 建立如下模型：()()()()()()()()222111111121121211111 1212211111122112221222122dddddddddddddeddedSSVSStSSS VStISVIItIS VIItRIRRtRIRRtTT tItItTtVT tItItVt =+=+=+(1)Open AccessOpen Access杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1380 应用数学进展 其中()12SS代表 t 时刻幼年(成年)易感者的数量，()12II代表 t 时刻幼年(成年)感染者的数量，()12R R代表 t 时刻幼年(成年)康复者的数量。T、V 分别代表 t 时刻易感、感染的蚊子。是成年个体被蚊子叮咬的概率与儿童被蚊子叮咬的概率之间的比值：它是相对风险，假设01=。根据泛函微分方程的基本理论，可知满足初始条件(2)的系统(1)有唯一解。由系统(1)有：()kkkkNNt=(3)其中1,2k=，1N代表人群的总数量，2N代表蚊子的总数量。由(3)得()()0 e1ekkttkkNN=+(4)其中1,2k=。由(4)得()limkktkNt=(5)其中1,2k=。由极限理论11以及1R、2R与其他变量是解耦的，故系统(1)等价与下列系统(6)。()()()()22111111121121211111 121221221222dddddddddedSSVSStSSS VStISVIItIS VIItVV tItItVt=+(6)杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1381 应用数学进展 系统(6)可以在下列正不变集中研究：()12121251212121212,|0,0,0,0,0,0S SI I VRSSIIVSSII+=+.3.基本再生数和平衡点存在性基本再生数和平衡点存在性 利用下一代矩阵法12 13计算出系统(6)的基本再生数为()()()2212120121211eR =+定理1 系统(6)始终存在一个无病平衡点()011111,0,0,0E=+；当01R 时，系统(6)存在 唯一的地方病平衡点()*1212,ESSII V=。证明：令系统(6)的右边等于 0 得：()()()()2211111112121111 112212212220000e0SVSSSS VSSVIIS VIIV tItItV =+=(9)当0V=，有120II=，由系统(9)的前两个方程得：111S=+，()1211S=+；当0V，由系统(9)得：*11*11SV=+，*12*11SSV=+，*1111S VI=+，*1221S VI=+；其中*V满足下列方程：()2*2100pVpVp+=(10)其中()()()()221212111112121201101pBpBBpR =+=+=+(11)其中()2112221eB =+。由各参数大于0，可知20p；当且仅当01R 时，00p，系统(6)存在唯一的地方病平衡点()*1212,ESSII V=。4.平衡点的稳定性平衡点的稳定性 本节将讨论系统(6)无病平衡点 E0和地方病平衡点 E*的稳定性。4.1.无病平衡点的稳定性无病平衡点的稳定性 定理 2 对任意0，当01R 时，E0是不稳定的。证明系统(6)在无病平衡点 E0处的雅可比矩阵为：()()()()()()22111111111111111111222222200000000000ee00 +因此系统(6)在无病平衡点 E0处的特征方程为()()()()1110f+=(12)方程()f满足下列条件()2100efaab=+其中()()()21120212121201121eaab =+=+=+由特征方程(12)可知有负实部特征根()11=+，()22=+，31=，其余特征根实部的正负则取决与方程()f根实部的正负，下列讨论方程()f根实部的正负。当0=时，()2100faab=+其中10a，()()2002101abR=+，显然，若01R 时，方程()f根可以随着时滞的增加通过穿过虚轴进入复平面的右半平面14。令()0i=是方程()0f=的一个纯虚根，()0f=得：()2100cossin0aiabi+=分离实部、虚部得：杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1383 应用数学进展 20010cossinabab=将等式两边分别平方并相加得：()42222100020aaab+=令2x=得：()2222100020 xaaxab+=计算可得：()()()2102220000210201aaababR=+显然，若01R，方程(13)无正实根，即方程()0f=无纯虚根，所以()0f=的根都具有负实部。综上对任意的0，当01R 时，0E的特征方程(12)的根都具有负实部，所以无病平衡点0E是局部渐进稳定的；当01R 时，0E是不稳定的。定理 3 对任意的0，当01R 时，系统(6)的无病平衡点0E在内是全局渐进稳定的。证明参考文献9 15构造如下 lyapunov 泛函。()()()()20000221222111222002212222212122lnlnetSSL tSSSSSSSSIIU t=+其中()U t的形式为：()()()()()21202dU tV tItIt=+且()U t的导数为：()()()()()()()()2221221222ddUV tItItV tItItt=+()L t沿着系统(6)的全导数为()()()()2002211222222122222122220022122211111112122122221111 12dddddd11edddddd11tSSSSdIILVUtStStdttttSSSVSSSS VSSSSVII=+=+()()()()()()2222122122221212S VIIeVV tItIt+(14)将()0111S=+，00112SS=代入方程(14)整理得：杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1384 应用数学进展 ()()()()()()20000022111221222121111000212122112201222222212122200221112d1111d1e2SSSSSSLSSVStSSSSSSSS VVV tItItSSS =+时，系统(6)的地方病平衡点*E在内是全局渐进稳定的。证明.参考文献9构造 Lyapunov 泛函()()*2122211122222122*2122211122222122*1lnlnlnlnlnSSL tVSSSVSSSSSIIVIIIVIIIIIVVVVV=+参考无病平衡点的证明以及文献9即可证明，这将不在赘述。下面讨论若0时，地方病平衡点*E的稳定性。系统(6)在地方病平衡点*E进行线性化得到()()12ddYJ Y tJ Y tt=+()()()()*1111*1112*11111*111220000000000000VSVSJVSVS+=+杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1385 应用数学进展 ()2222*2222212220000000000000000000000eeeJVVII =+结合方程(9)最后一个等式关于地方病平衡点之间的关系()2*221222eVIIV+=在地方病平衡点*E处的特征方程为：()()()1,0Dg=+=(15)其中()g的表达式为：()()4323232103210egqqqqmmmm=+其中()g各项系数的表达式为：*311213qVV=+()()()()()*2211112111122qVVVV=+()()()()()*1111121111122qVVVV=+()()()*0111112qVV=+23*22mV=()()*2211121*223VmVVV=+()()()()()()()*211111111*22*2111112122VmVVVVVVV=+()()()2*1212*012111*2*12S VmVVSS +=+由方程(15)知地方病平衡点*E处的特征方程的特征根()11=+其余特征根的实部的正负取决于方程()0g=根实部的正负，由定理(4)可知，若0=，当01R 时，系统(6)的地方病平衡点*E是全局渐进稳定的，所以地方病平衡点*E是局部渐进稳定的，所以方程()0g=的根都具有负实部。方程()0g=的根连续依赖 16，当0=时，因为地方病平衡点是稳定的，所以方程()0g=的根都位于虚轴的左侧，当增大时，方程()0g=的根可以穿过虚轴进入右侧。()0i=是临界情况，因为当根位于虚轴上时，在很小的扰动下可以进入右侧或左侧10。所以当0方程()0g=若有杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1386 应用数学进展 正实部的根，则该方程存在纯虚根。假设()0i=是方程()0g=的一个纯虚根，代入方程()0g=并分离实部、虚部得()()()()4232203120332313120sincoscossinqqmmmmqqmmmm+=+=(16)将上式(16)两边分别平方并相加得 864232100kkkk+=(17)其中 223233222201313222102110222000222222kqqmkqqq qm mmkq qqmm mkqm=+=+=+=令2l=，式(17)变为 43232100lk lk lk lk+=(18)由 cardon 公式以及文献17，首先进行如下条件的定义 2233332322112313,216328232kkk kkddidd+=+=22222333312,2222kkkkhh=+=+23223333,224iikkkhlh=+=(H1)当00k 时，若0，有10l 或()10h l，则方程(17)、(18)无正根。(H2)当00k 时，若0，有*123max,ll l l=，满足*0l 或()()01,2,3ih li=，则方程(17)、(18)无正根。定理 5 当01R，0若方程(18)满足条件(H1)或(H2)，则地方病平衡点*E是局部渐进稳定的。证明由地方病平衡点*E的特征方程(15)知，特征根1为负的，若满足条件(H1)或(H2)，方程(18)则无正根，即方程()0g=不存在纯虚根，即特征方程(15)其余的特征根都具有负实部，故地方病平衡点*E是局部渐进稳定的。4.3.Hopf 分支的存在性分支的存在性 本节讨论系统(6)在地方病平衡点*E处以时滞为参数出现 Hopf 分支的情况。由 cardon 公式以及文献17定义如下条件：(H3)00k；(H4)当00k，若0，有10l，且()10h l；(H5)当00k，若0，其中123,ill l l，有0il，且()0ih l；由 cardon 公式以及文献17知，若方程(18)满足条件(H3)、(H4)、(H5)之一，方程(18)至少存在一个正实根，即方程()0g=存在纯虚根。杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1387 应用数学进展 假设方程(18)的正实根为()14jlj，则方程(17)的 j 个正实根分别设为()14jjlj=，对于每一个j根据方程(16)定义时滞临界值：()()()()()()()42233202031312223203112arccosnjjjqqmmqqmmnmmmm+=其中14,0,1,2,jn=。定义()00min,1,2,3,4jj=，00k=，所以当0=时，方程()0g=会存在一对纯虚根0i。下面求解系统(6)在0=产生Hopf分支的横截条件。()()0d Re0d=(19)将方程()0g=关于时滞求导得()()1322321321232321321043232dd32eqqqmmmmmmmmmm+=+由式(16)得()()()()()()()()()()0322220102012242302003010202242302003010432d Redkkkqqqqhqqqq=+=+=+由()()()()0021102242302003010d RedReddiisign hsignsignqqqq=+若()200h，则横截条件(19)成立，即系统(6)在地方病平衡点*E处存在 Hopf 分支。定理 6 当01R 时，若方程(18)满足(H3)、(H4)、(H5)之一，且()200h则00时，地方病平衡点*E局部渐进稳定；0时，地方病平衡点*E不稳定，且0=时，系统(6)在地方病平衡点*E处存在 Hopf 分支。5.数值模拟数值模拟 使用 matlab 软件对数值模拟以验证理论分析的结果。首先讨论无病平衡点的全局稳定性。参考论文15的数据取值，参数选取下列数值。1212123,2,0.01,0.03,0.0024,0.5,0.6,0.3,1=计算得00.8971R。由图 1(b)知，地方病平衡点是全局渐进稳定的。杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1388 应用数学进展 (a)(b)Figure 1.(a)01R,0=,0E Global asymptotic stability 图图 1.(a)01R，0=时0E全局渐进稳定 接下来讨论0时，系统(6)以时滞为分支参数出现 Hopf 分支的情况。讨论系统(6)的地方病平衡点的稳定性，参数选取下列数值：1212123,4,0.2,0.4,0.01,0.0024,0.4,0.4,0.3=计算得00.904，014.931R。取00.3=得图 2(b)，此时地方病平衡点是不稳定的。(a)(b)Figure 2.01R (a)*E Local asymptotic stability;(b)*E instability 图图 2.01R (a)*E局部渐进稳定；(b)*E不稳定 最后讨论成年个体被蚊子叮咬的概率与儿童被蚊子叮咬的概率之间的比值对各组室数量变化的影响。参数选取下列数值：1212123,2,0.2,0.4,0.03,0.0024,0.5,0.3=；杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1389 应用数学进展 取0.8=得图 3(a)，取0.06=得图 3(b)。(a)(b)Figure 3.01R,0.3=,(a)0.8=;(b)0.06=图图 3.01R，0.3=，(a)0.8=；(b)0.06=通过理论证明与数值模拟，发现当01R 的情况，如果不考虑疾病的外部潜伏期则系统(6)的地方病平衡点是全局渐进稳定的，但是当考虑疾病外部潜伏期的时候，在一定的条件下存在0，当0并且在一定的范围内时，地方病平衡点*E是不稳定的并出现周期振荡现象，并产生 Hopf 分支，说明疾病会反复爆发。通过对比图 3(a)，图 3(b)发现参数对成年易感个体和成年染病个体的影响较大，在参数较高的情况下，发现成年染病个体人数先增加后减少，在参数较低的情况下，成年染病个体人数呈下降趋势，并维持在一定的水平，但是的变化对幼年感染个体影响较低。因此减少蚊子的叮咬是控制虫媒传染病的一种有效途径，亦为研究登革热疾病最优控制的后续工作提供思路。通过对比成年个体与幼年个体的染病情况，发现人们减少户外活动也是预防登革热传染病的一种有效手段。6.结论结论 本章假设幼年个体与成年个体被蚊子叮咬的概率不同，以及增加对媒介个体蚊子的潜伏期(疾病的外潜伏期)的考虑，在论文9 10的基础上建立了系统(6)，并计算了基本繁殖数，计算了无病平衡点和地方病平衡点，并讨论了它们的稳定性。通过数值模拟验证了理论结果。参考文献参考文献 1 Guzman,M.G.and Harris,E.(2015)Dengue.Lancet,385.453-465.https:/doi.org/10.1016/S0140-6736(14)60572-9 2 WHO(2012)Global Strategy for Dengue Prevention and Control,2012-2020 WHO Report.World Health Organiza-tion,Geneva.3 Esteva,L.and Vargas,C.(1998)Analysis of a Dengue Disease Transmission Model.Mathematical Biosciences,150,131-151.https:/doi.org/10.1016/S0025-5564(98)10003-2 4 Andraud,M.,Hens,N.,Marais,C.and Beutels,P.(2012)Dynamic Epidemiological Models for Dengue Transmission:A Systematic Review of Structural Approaches.PLOS ONE,7,e49085.https:/doi.org/10.1371/journal.pone.0049085 5 Wang,L.P.and Zhao,H.Y.(2019)Dynamics Analysis of a Zika-Dengue Co-Infection Model with Dengue Vaccine 杨艳红，刘贤宁 DOI:10.12677/aam.2024.134129 1390 应用数学进展 and Antibody-Dependent Enhancement.Physica A,522,248-273.https:/doi.org/10.1016/j.physa.2019.01.099 6 Billings,L.,Fiorillo,A.and Schwartz,I.B.(2018)Vaccinations in Disease Models with Antibody-Dependent En-hancement.Mathematical Biosciences,211,265-281.https:/doi.org/10.1016/j.mbs.2007.08.004 7 李艳,王稳地,周爱蓉,何楠.具有隐性感染的登革热模型稳定性分析J.西南师范大学学报:自然科学版,2018,43(5):1-5.8 Supriatna,A.K.,Soewono,E.,van,S.A.and Gils,A.(2008)Two-Age-Classes Dengue Transmission Model.Mathe-matical Biosciences,216,114-121.https:/doi.org/10.1016/j.mbs.2007.08.004 9 Alian,L.M.,Ramon,R.C.and Cruz,V.D.L.(2022)Dynamics of a Dengue Disease Transmission Model with Two-Stage Structure in the Human Population.Mathematical Biosciences and Engineering,20,955-974.https:/doi.org/10.3934/mbe.2023044 10 Xu,J.H.and Zhou,Y.C.(2016)Hopf Bifurcation and Its Stability for a Vector-Borne Disease Model with Delay and Reinfection.Applied Mathematical Modelling,40,1685-1702.https:/doi.org/10.1016/j.apm.2015.09.007 11 Castillo-Chevez,C.and Thieme,H.R.(1994)Asymptotically Autonomous Epidemic Models.Mathematical Sciences Institute,Cornell University,1,33-50.12 Diekmann,O.,Heesterbeek,J.A.P.and Metz,J.A.J.(1990)On the Definition and the Computation of the Basic Reproduc-tion Ratio R0 in Models for Infectious Diseases in Heterogeneous Populations.Mathematical Biology,28,365-382.https:/doi.org/10.1007/BF00178324 13 Martcheva,M.(2015)An Introduction to Mathematical Epidemiology.Springer Science+Business Media,New York.https:/doi.org/10.1007/978-1-4899-7612-3_1 14 Hu,Z.X.,Yin,S.S.and Wang,H.(2019)Stability and Hopf Bifurcation of a Vector-Borne Disease Model with Satu-rated Infection Rate and Reinfection.Hindawl Computational and Methdicine,2019,Article ID 1352698.https:/doi.org/10.1155/2019/1352698 15 张鑫喆,贺国峰,黄刚.一类具有接种和潜伏期的传染病模型及动力学分析J.数学物理学报,2019,39A(5):1247-1259.16 Busenberg,S.and Cooke,K.L.(1993)Vertically Transmitted Diseases:Models and Dynamics.In:Biomathematics,Vol.23,Springer,Berlin.https:/doi.org/10.1007/978-3-642-75301-5 17 王娟,吕万碧,李显,勇弋,建华.四次函数的单调性与极值J.内江科技,2006(4):84-85.