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其次次月综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{y|y＝log3x，x＞1}，B＝{y|y＝()x，x＞1}，则A∩B＝( )
A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1}
C．{y|＜y＜1} D．Ø
[答案] A
[解析] 由x＞1可得y＝log3x＞log31＝0，y＝()x＜()1＝，因此A＝{y|y＞0}，B＝{y|0＜y＜}，所以A∩B＝{y|0＜y＜}，故选A.
2．若函数f(x)＝则f(f(10))＝( )
A．lg101 B．2
C．1 D．0
[答案] B
[解析] ∵f(10)＝lg10＝1，
∴f(f(10)＝f(1)＝12＋1＝2.
3．函数y＝(1＋x)＋(1－x)－的定义域是( )
A．(－1,0) B．(－1,1)
C．(0,1) D．(0,1]
[答案] B
[解析] 函数y＝(1＋x)＋(1－x) －有意义应满足∴－1＜x＜1，故选B.
4．设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
[答案] C
[解析] a＝log0.50.6＜log0.50.5＝1，
又a＝log0.50.6＞log0.51＝0，
∴0＜a＜1.
b＝log1.10.6＜log1.11＝0，
c＝1.10.6＞1.10＝1，
∴c＞a＞b，故选C.
5．(2021·全国高考湖北理科，5题)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[答案] A
[解析] 明显f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，明显f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
6．已知函数f(x)的定义域为R，f(x)在R上是减函数，若f(x)的一个零点为1，则不等式f(2x－1)＞0的解集为( )
A．(，＋∞) B．(－∞，)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
[答案] D
[解析] 由f(x)是定义在R上的减函数且f(x)的一个零点为1，易知当x＜1时f(x)＞0，所以f(2x－1)＞0等价于2x－1＜1，解得x＜1，因此选D.
8．函数y＝e|－lnx|－|x－1|的图象大致是( )
[答案] D
[解析] 当x≥1时，y＝1，
当0＜x＜1时，y＝＋x－1，
故选D.
9．函数f(x)＝()x＋3x在区间( )内有零点( )
A．(－2，－1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,2)
[答案] C
[解析] f(0)＝0＋0×3＝1，f(－1)＝()－1－3＝－3<0，∴f(0)f(－1)<0，因此f(x)在(－1,0)上有零点，选C.
10．某商店方案投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a＞0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A. B．5
C．± D．－
[答案] A
[解析] 设投放x万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.
令y≥5，则＋·≥5，所以a≥10－，即a≥对0≤x＜20恒成立，而f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，所以amin＝，故选A.
11．函数f(x)＝|lgx|，则f()、f()、f(2)的大小关系是( )
A．f(2)>f()>f() B．f()>f()>f(2)
C．f(2)>f()>f() D．f()>f()>f(2)
[答案] B
[解析] f()＝|lg|＝|－lg4|＝lg4，f()＝|lg|＝|－lg3|＝lg3，∵lg4>lg3>lg2，∴f()>f()>f(2)，故选B.
12．(2021·沧州市第一学期高一期末质量监测)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2021x＋log2021x，则方程f(x)＝0的实数根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] f(x)＝2021x＋log2021x，在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝2021>0，当x无限接近零时，2021x近似为1，log2021x是负数且无限小，因此函数值为负，所以f(x)在(0，＋∞)上只有一根，又f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)上递增且有一根，又f(0)＝0，因此，f(x)在R上有3个零点，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(9，)，则f(25)的值是________．
[答案]
[解析] f(x)＝xα，
9α＝，∴α＝－，f(25)＝25－＝.
14．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
[答案] 1
[解析] 设f(x)＝x3－()x－2
f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，
又f(x)为增函数，∴x0∈(1,2)．
15．对于函数f(x)＝x－2－lnx，我们知道f(3)＝1－ln3＜0，f(4)＝2－ln4＞0，用二分法求函数f(x)在区间(3,4)内的零点的近似值，我们先求出函数值f(3.5)，若已知ln3.5＝1.25，则接下来我们要求的函数值是________．
[答案] f(3.25)
[解析] 由ln3.5＝1.25且f(3.5)＝3.5－2－ln3.5≈0.25＞0，以及f(3)＜0可知下一步应代入的x值为3.5和3的平均数，即接下来我们需求的函数值为f(3.25)．
16．对于函数f(x)＝log2x在其定义域内任意的x1，x2且x1≠x2，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③＞0；④f()＜，上述结论中正确结论的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 对于①，取x1＝2，x2＝4，可知f(x1)·f(x2)＝log22·log24＝2，而f(x1＋x2)＝log26≠log24＝2，因此①不成立；对于②，由对数运算性质有f(x1·x2)＝log2(x1·x2)＝log2x1＋log2x2＝f(x1)＋f(x2)，因此②成立；对于③，表示的正是两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))之间的变化率状况，由f(x)＝log2x的图象易知其函数图象上任意两点之间的变化率必为正，因此③成立；对于④，取x1＝2，x2＝8，可知＝＝2，f()＝log25，
而log25＞log24＝2，此时f()＞，
因此④不成立．综上所述，应填②③.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2021·湖南省临澧二中高一数学检测题)求下列各式的值：
(1)(2)－(2－π)0－(2)－＋0.25－；
(2)log3＋lg25＋lg4＋7log72.
[解析] (1)原式＝()－1－()－＋()－＝－1－[()3] －＋[()2] －＝－()－2＋()－3＝－＋8＝8.
(2)原式＝log33－＋lg(25×4)＋2＝－＋2＋2＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围．
[解析] 函数f(x)＝x2＋x＋a的对称轴方程为x＝－＜0，
故f(x)在(0,1)上递增．
由已知条件f(0)f(1)＜0，即，故，
解得－2＜a＜0，故a的取值范围为：(－2,0)．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.
(1)若t＝log2x求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并求出最值时，对应x的值．
[解析] (1)∵t＝log2x，≤x≤4，∴log2≤t≤log24，∴－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝logx＋3log2x＋2，
设log2x＝t，∴y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－(－2≤t≤2)
当t＝－，即log2x＝－，x＝2－＝时，f(x)min＝－
当t＝2即log2x＝2，x＝4时，f(x)max＝12.
20．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)＝－22x＋a·2x(a∈R)．
(1)求f(x)在[－1,0]上的解析式．
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a)．
[解析] (1)设x∈[－1,0]，
则－x∈[0,1]，f(－x)＝－2－2x＋a·2－x，
又∵函数f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，
∴f(x)＝－2－2x＋a·2－x，x∈[－1,0]．
(2)∵f(x)＝－22x＋a·2x，x∈[0,1]，
令t＝2x，t∈[1,2]．
∴g(t)＝at－t2＝－(t－)2＋.
当≤1，即a≤2时，h(a)＝g(1)＝a－1；
当1＜＜2，即2＜a＜4时，
h(a)＝g()＝；
当≥2，即a≥4时，h(a)＝g(2)＝2a－4.
综上所述，
h(a)＝
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式()x≥2m＋1在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由题意得⇒a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x
(2)设g(x)＝()x＝()x，
则y＝g(x)在R上为减函数．(可以不证明)
∴当x≤1时gmin(x)＝g(1)＝，
由于()x≥2m＋1在x∈(－∞，1]上恒成立，
即g(x)min≥2m＋1，
即2m＋1≤⇒m≤－，∴m的取值范围为：m≤－.
22．(本小题满分12分)(2021·山东济宁月考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区供应自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．依据阅历，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必需高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
[解析] (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.
∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.
令[50－3(x－6)]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0.解得2≤x≤20，又x∈N*，∴6＜x≤20，x∈N*，
故y＝
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，明显当x＝6时，ymax＝185，
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3(x－)2＋(6＜x≤20，x∈N*)．
当x＝11时，ymax＝270，∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．
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