资源描述
其次次月综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={y|y=log3x,x>1},B={y|y=()x,x>1},则A∩B=( )
A.{y|0<y<} B.{y|0<y<1}
C.{y|<y<1} D.Ø
[答案] A
[解析] 由x>1可得y=log3x>log31=0,y=()x<()1=,因此A={y|y>0},B={y|0<y<},所以A∩B={y|0<y<},故选A.
2.若函数f(x)=则f(f(10))=( )
A.lg101 B.2
C.1 D.0
[答案] B
[解析] ∵f(10)=lg10=1,
∴f(f(10)=f(1)=12+1=2.
3.函数y=(1+x)+(1-x)-的定义域是( )
A.(-1,0) B.(-1,1)
C.(0,1) D.(0,1]
[答案] B
[解析] 函数y=(1+x)+(1-x) -有意义应满足∴-1<x<1,故选B.
4.设a=log0.50.6,b=log1.10.6,c=1.10.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.b<c<a
C.b<a<c D.c<a<b
[答案] C
[解析] a=log0.50.6<log0.50.5=1,
又a=log0.50.6>log0.51=0,
∴0<a<1.
b=log1.10.6<log1.11=0,
c=1.10.6>1.10=1,
∴c>a>b,故选C.
5.(2021·全国高考湖北理科,5题)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
[答案] A
[解析] 明显f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,明显f(x)在(0,1)上单调递增,故选A.
6.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)在R上是减函数,若f(x)的一个零点为1,则不等式f(2x-1)>0的解集为( )
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
[答案] D
[解析] 由f(x)是定义在R上的减函数且f(x)的一个零点为1,易知当x<1时f(x)>0,所以f(2x-1)>0等价于2x-1<1,解得x<1,因此选D.
8.函数y=e|-lnx|-|x-1|的图象大致是( )
[答案] D
[解析] 当x≥1时,y=1,
当0<x<1时,y=+x-1,
故选D.
9.函数f(x)=()x+3x在区间( )内有零点( )
A.(-2,-1) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,2)
[答案] C
[解析] f(0)=0+0×3=1,f(-1)=()-1-3=-3<0,∴f(0)f(-1)<0,因此f(x)在(-1,0)上有零点,选C.
10.某商店方案投入资金20万元经销甲或乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是:P=,Q=(a>0);若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元,则a的最小值应为( )
A. B.5
C.± D.-
[答案] A
[解析] 设投放x万元经销甲商品,则经销乙商品投放(20-x)万元,总利润y=P+Q=+·.
令y≥5,则+·≥5,所以a≥10-,即a≥对0≤x<20恒成立,而f(x)=的最大值为,且x=20时,a≥10-也成立,所以amin=,故选A.
11.函数f(x)=|lgx|,则f()、f()、f(2)的大小关系是( )
A.f(2)>f()>f() B.f()>f()>f(2)
C.f(2)>f()>f() D.f()>f()>f(2)
[答案] B
[解析] f()=|lg|=|-lg4|=lg4,f()=|lg|=|-lg3|=lg3,∵lg4>lg3>lg2,∴f()>f()>f(2),故选B.
12.(2021·沧州市第一学期高一期末质量监测)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2021x+log2021x,则方程f(x)=0的实数根的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
[解析] f(x)=2021x+log2021x,在(0,+∞)上为增函数,又f(1)=2021>0,当x无限接近零时,2021x近似为1,log2021x是负数且无限小,因此函数值为负,所以f(x)在(0,+∞)上只有一根,又f(x)为奇函数,f(x)在(-∞,0)上递增且有一根,又f(0)=0,因此,f(x)在R上有3个零点,故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.若幂函数y=f(x)的图象经过点(9,),则f(25)的值是________.
[答案]
[解析] f(x)=xα,
9α=,∴α=-,f(25)=25-=.
14.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是(n,n+1),n∈N+,则n=________.
[答案] 1
[解析] 设f(x)=x3-()x-2
f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
又f(x)为增函数,∴x0∈(1,2).
15.对于函数f(x)=x-2-lnx,我们知道f(3)=1-ln3<0,f(4)=2-ln4>0,用二分法求函数f(x)在区间(3,4)内的零点的近似值,我们先求出函数值f(3.5),若已知ln3.5=1.25,则接下来我们要求的函数值是________.
[答案] f(3.25)
[解析] 由ln3.5=1.25且f(3.5)=3.5-2-ln3.5≈0.25>0,以及f(3)<0可知下一步应代入的x值为3.5和3的平均数,即接下来我们需求的函数值为f(3.25).
16.对于函数f(x)=log2x在其定义域内任意的x1,x2且x1≠x2,有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③>0;④f()<,上述结论中正确结论的序号是________.
[答案] ②③
[解析] 对于①,取x1=2,x2=4,可知f(x1)·f(x2)=log22·log24=2,而f(x1+x2)=log26≠log24=2,因此①不成立;对于②,由对数运算性质有f(x1·x2)=log2(x1·x2)=log2x1+log2x2=f(x1)+f(x2),因此②成立;对于③,表示的正是两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))之间的变化率状况,由f(x)=log2x的图象易知其函数图象上任意两点之间的变化率必为正,因此③成立;对于④,取x1=2,x2=8,可知==2,f()=log25,
而log25>log24=2,此时f()>,
因此④不成立.综上所述,应填②③.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2021·湖南省临澧二中高一数学检测题)求下列各式的值:
(1)(2)-(2-π)0-(2)-+0.25-;
(2)log3+lg25+lg4+7log72.
[解析] (1)原式=()-1-()-+()-=-1-[()3] -+[()2] -=-()-2+()-3=-+8=8.
(2)原式=log33-+lg(25×4)+2=-+2+2=.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,求实数a的取值范围.
[解析] 函数f(x)=x2+x+a的对称轴方程为x=-<0,
故f(x)在(0,1)上递增.
由已知条件f(0)f(1)<0,即,故,
解得-2<a<0,故a的取值范围为:(-2,0).
19.(本小题满分12分)设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),≤x≤4.
(1)若t=log2x求t的取值范围;
(2)求f(x)的最值,并求出最值时,对应x的值.
[解析] (1)∵t=log2x,≤x≤4,∴log2≤t≤log24,∴-2≤t≤2.
(2)f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)=(log2x+2)(log2x+1)=logx+3log2x+2,
设log2x=t,∴y=t2+3t+2=(t+)2-(-2≤t≤2)
当t=-,即log2x=-,x=2-=时,f(x)min=-
当t=2即log2x=2,x=4时,f(x)max=12.
20.(本小题满分12分)定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)=-22x+a·2x(a∈R).
(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式.
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a).
[解析] (1)设x∈[-1,0],
则-x∈[0,1],f(-x)=-2-2x+a·2-x,
又∵函数f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x),
∴f(x)=-2-2x+a·2-x,x∈[-1,0].
(2)∵f(x)=-22x+a·2x,x∈[0,1],
令t=2x,t∈[1,2].
∴g(t)=at-t2=-(t-)2+.
当≤1,即a≤2时,h(a)=g(1)=a-1;
当1<<2,即2<a<4时,
h(a)=g()=;
当≥2,即a≥4时,h(a)=g(2)=2a-4.
综上所述,
h(a)=
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式()x≥2m+1在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
[解析] (1)由题意得⇒a=2,b=3,
∴f(x)=3·2x
(2)设g(x)=()x=()x,
则y=g(x)在R上为减函数.(可以不证明)
∴当x≤1时gmin(x)=g(1)=,
由于()x≥2m+1在x∈(-∞,1]上恒成立,
即g(x)min≥2m+1,
即2m+1≤⇒m≤-,∴m的取值范围为:m≤-.
22.(本小题满分12分)(2021·山东济宁月考)为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区供应自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.依据阅历,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必需高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入=一日出租自行车的总收入-管理费用).
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使日净收入最多?
[解析] (1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3.
∵x∈N*,∴x≥3,∴3≤x≤6,x∈N*.
当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115.
令[50-3(x-6)]x-115>0,得3x2-68x+115<0.解得2≤x≤20,又x∈N*,∴6<x≤20,x∈N*,
故y=
定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}.
(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈N*),明显当x=6时,ymax=185,
对于y=-3x2+68x-115=-3(x-)2+(6<x≤20,x∈N*).
当x=11时,ymax=270,∵270>185,
∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使日净收入最多.
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