江苏省扬州中学2022届高三上学期开学考试-数学(理)-Word版含答案.docx

扬州中学2022届高三8月开学考试
数 学 （理科）试 题Ⅰ
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
2021．8
留意事项：

1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1.已知集合，则= ▲ ．
2.已知命题，则为 ▲ ．
3.若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 ▲ .
4. 记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ．

5.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ .
6. 曲线在点处的切线方程为 ▲ ．
7. 若开放式中前三项系数成等差数列，则的值为 ▲ ．
8.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为 ▲ .
9.已知为其次象限角，，则＝ ▲ .
10.若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于 ▲ .
11.已知函数，则不等式的解集是 ▲ .
12.已知函数若，则的取值范围是 ▲ .
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数. 假如，，使得，则实数的取值范围是 ▲ .
14.已知函数是定义域为上的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知；
（1）求；（2）求．

16. （本小题满分14分）
已知命题:关于实数的方程有两个不等的负根；命题:关于实数的方程无实根．
（1） 命题“或”真，“且”假，求实数的取值范围．
（2） 若关于的不等式的解集为M；命题为真命题时，的取值集合为N．当时，求实数的取值范围．

17. （本小题满分14分）
设.
（1）求的单调区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.

18. （本小题满分16分）
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调整仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；
(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
(第18题图)

19.（本小题满分16分）
已知函数 。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对满足全部的实数及恒成立，求实数的取值范围。

20．(本小题满分16分)
设函数，.
（1）当时，函数与在处的切线相互垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数,使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.

扬州中学2022届高三8月开学考试
数 学 （理科）试 题Ⅱ
（全卷满分40分，考试时间30分钟）
2021．8
21．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标中，已知曲线C的参数方程为，曲线与直线相交于两点，求线段的长。

22选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离.

23． (本小题满分10分)
一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番扫瞄后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.

24. (本小题满分10分)
设
（1）当时，试指出与的大小关系；
（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.

2021年8月开学考
理 科 数 学 试 题 参 考 答 案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1、 2.3. 4. (－∞，－3] 5.
6. 7.8 8. 9． 10. 11. 12. [－2,0] 13. 14.

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.解：（1）

（2）

16.解： （1）若方程有两不等的负根，则 解得
即命题:，
若方程无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即命题:1＜m＜3.
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴
解得：m≥3或1＜m≤2.
（2）（2）∵ ∴

，解得：．
17（I）由题意知

由 可得
由 可得

18.解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．
(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．
即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．
………… 4分
(ii)由于MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．
在Rt△ONF中，NF＝＝＝．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x．
即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． ………… 8分
（2）方法一：选择(i)中的函数模型：
令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，
则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分
由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．
由于0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．
设cosα＝，且α为锐角，
则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分
方法二：选择(ii)中的函数模型：
由于S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，
则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分
由于当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分
19．解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分
又由≥0 得值域为 …………4分
（2）由于
令，则，
∴()+t= …………6分
由题意知g(a)即为函数的最大值。
留意到直线是抛物线的对称轴。
由于a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
…………………………10分
（3）易得， …………12分
由对恒成立，
即要使即恒成立，
令，对全部的成立，
只需解得. …………16分

20．解：（1）当时，，在处的切线斜率，
由，在处的切线斜率，，.……………4分
（2）易知函数的定义域为，
又，
由题意，得的最小值为负，（注：结合函数图象同样可以得到），，，（注：结合消元利用基本不等式也可）.………………………….….…………….……………………………………………9分
（3）令，其中
则，设

在单调递减，在区间必存在实根，不妨设
即，可得（*）
在区间上单调递增，在上单调递减，所以，
，代入（*）式得
依据题意恒成立.
又依据基本不等式,,当且仅当时,等式成立
所以,.代入（*）式得,,即………………16分
(以下解法供参考，请酌情给分)
解法2：，其中
依据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且，解得且，
即时上述条件成立此时.
解法3：，其中
要使得对任意正数恒成立，
等价于对任意正数恒成立，即对任意正数恒成立，
设函数，则的函数图像为开口向上，与正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，依据题意，抛物线只能与轴有一个交点，即，所以.

扬州中学2022届高三8月开学考试
数 学 （理科）试 题Ⅱ
21解：将曲线C的参数方程化为一般方程为：（亦可直接用参数方程解A,B点）
方程组解得故

22. 圆的一般方程为
直线的一般方程为，
圆心到直线的距离为
23．解：（1）记“该网民购买i种商品”为大事，则：,
,……………2分
所以该网民至少购买4种商品的概率为 .
答：该网民至少购买4种商品的概率为. ………………………3分
（2）随机变量的可能取值为，
,
,

,
,
,
. ………………………8分
所以：随机变量的概率分布为：

0
1
2
3
4
5

故.………………………10分