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课时提升作业(二)
一、选择题
1．(2021·惠州模拟）命题：“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是( )
（A）若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
（B）若-1＜x＜1,则x2＜1
（C）若x＞1,或x＜-1,则x2＞1
（D）若x≥1,或x≤-1,则x2≥1
2．设m,n是整数，则“m,n均为偶数” 是“m+n是偶数”的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
3.(2021·广州六校联考）在△ABC中，“A=60°”是“cos A=”的( )
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
4．(2021·广州模拟）已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B,命题乙：AB，那么甲是乙的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
5．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
6.a,b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)为一次函数”的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
7.下列各小题中，p是q的充要条件的是( )
（1）p:m＜-2或m＞6；q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．
（2）p: =1;q:y=f(x)是偶函数．
（3）p:cos α=cos β；q:tan α=tan β.
（4）p:A∩B=A;q: B⊆A.
（A）(1)(2) （B）(2)(3)
（C）(3)（4） （D）(1)(4)
8.(2021·汕头模拟）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
9．对任意实数a,b,c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件； ②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10.（2021·枣庄模拟）“a＞3”是“函数f(x)=ax+3在［-1,2］上存在零点”的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
11．若m,n∈N*，则“a＞b”是“am+n+bm+n＞anbm+ambn”的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
12．（力气挑战题）已知a,b为实数，集合A={x|ax+b=0}，则下列命题为假命题的是( )
（A）当a≠0时，集合A是有限集
（B）当a=b=0时，集合A是无限集
（C）当a=0时，集合A是无限集
（D）当a=0,b≠0时，集合A是空集
二、填空题
13．函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增的充要条件是_______．
14．sin α≠sin β是α≠β的_______条件.
15.（2021·云浮模拟）“对x∈［1,2］,都有x2+ax+1≥0时实数a的取值范围”是“实数a＞3”的_______条件.（填写“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
16．（力气挑战题）在空间中:①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是_______．
三、解答题
17．已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈［,2］},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
答案解析
1．【解析】选D．“若x2＜1,则-1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则x2≥1”.
2．【解析】选A．m,n均为偶数⇒m+n是偶数；m+n是偶数，则m,n均为偶数或者m,n均为奇数，即m+n是偶数m,n均为偶数．故选A．
3.【解析】选C．在△ABC中，若A=60°，则cos A=;反过来，若cos A=,由于0°＜A＜180°,所以A=60°.因此，在△ABC中，“A=60°”是“cos A=”的充要条件.
4．【解析】选B．A∪B=B⇒A⊆B;
AB⇒A∪B=B,
故A∪B=B是AB的必要不充分条件.
5．【解析】选B．原命题是一个假命题，由于当c=0时，不等式的两边同乘上0得到的是一个等式；原命题的逆命题是一个真命题，由于当ac2＞bc2时，确定有c2≠0，所以必有c2＞0，不等式两边同除一个正数，不等号方向不变，即若ac2＞bc2，则a＞b成立.依据命题的等价关系，四个命题中有2个真命题．
6.【思路点拨】只要看两个条件能不能相互推出即可．
【解析】选B．函数f(x)=x2a·b-(a2-b2)x-a·b．当函数f(x)是一次函数时必定有a·b=0，即a⊥b；但当a⊥b时，且|a|=|b|时，函数f(x)不是一次函数．故“a⊥b”是“函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)为一次函数”的必要不充分条件．
7.【解析】选D．（1）y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件是m2-4(m+3)＞0，
解得m＜-2或m＞6.
（2）由=1可得f(-x)=f(x)，函数y=f(x)是偶函数，但函数y=f(x)是偶函数时，有可能f(x)=0，此时无意义.
（3）cos α=cos β≠0时，sin α=±sin β，得出tan α=±tan β，
cos α=cos β=0时，tan α,tan β无意义.
（4）A∩B=A⇔A⊆B⇔B⊆A.
综上可知，p是q的充要条件的是（1）（4）．
8.【解析】选C．当m＞n＞0时，0＜.
又mx2+ny2=1,则=1,
∴mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆.
反之，若mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则＞0,即0＜n＜m.
即“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件.
9．【解析】选B．命题①在c=0时不正确，即“a=b”只是“ac=bc”的充分不必要条件；留意到无理数的概念与实数的加法运算，可知命题②是真命题；命题③在a，b至少有一个是负数时不愿定正确，命题③为假命题；由不等式的性质，若a＜3，必有a＜5，命题④是真命题．综上所述，命题②④是真命题，选B．
10.【解析】选A．函数f(x)=ax+3在开区间(-1,2)上存在零点的充要条件是f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)＜0，即a＞3或者a＜在区间端点处假如f(-1)=0，则a=3，假如f(2)=0，则a=因此函数f(x)=ax+3在闭区间［-1,2］上存在零点的充要条件是a≥3或者a≤依据集合推断充要条件的方法可知，“a＞3”是“函数f(x)=ax+3在［-1,2］上存在零点”的充分不必要条件．
11．【解析】选D．am+n+bm+n＞anbm+ambn⇔(am-bm)(an-bn)＞0．当a＞b时，由于a,b可能为负值，m,n奇偶不定，因此不能得出(am-bm)(an-bn)＞0；当(am-bm)·(an-bn)＞0时，即使在a,b均为正数时也有a＜b的可能，因此也得不出a＞b．所以“a＞b”是“am+n+bm+n＞anbm+ambn”的既不充分也不必要条件．
【误区警示】不等式性质的使用前提
留意不等式性质成立的条件，只有在a＞b＞0时，才能保证an＞bn(n∈N*)．
【变式备选】
若a1x2+b1x+c1＜0和a2x2+b2x+c2＜0的解集分别为集合M和N,ai,bi,ci(i=1，2)均不为零，那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】选D.若a1b2=a2b1且a1c2=a2c1，则有
当k＜0时，M≠N;
反之，若M=N,
则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不愿定成立,
故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的既不充分也不必要条件.
12．【思路点拨】集合A是一个含有参数的方程的解的集合，依据参数的不同取值这个方程解的个数也不同，分类争辩即可解决．
【解析】选C．A中，当a≠0时，有x=此时集合A是有限集；B中，当a=b=0时，一切实数x都是A的元素，此时集合A是无限集；C中，当a=0时，方程变为0x+b=0，此时只有b=0集合A才可能是无限集；D中，当a=0,b≠0时，没有实数x满足ax+b=0，此时集合A是空集．
13．【解析】在(-∞,+∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，即3x2+4x+m≥0在(-∞,+∞)上恒成立，故Δ=16-12m≤0，解得m≥
答案：m≥
14．【解析】即推断α=β是sin α=sin β的什么条件，明显是充分不必要条件．
答案：充分不必要
15.【解析】∵对x∈［1,2］,都有x2+ax+1≥0,
∴ax≥-(x2+1)，即a≥-(x+),
而函数f(x)=x+在［1,2］上单调递增,
∴2≤x+≤,
∴a≥-2,
由a≥-2不能推出a＞3,而由a＞3可推出a≥-2.
答案：必要不充分
16．【解析】①中的逆命题是：在空间中，若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观看：上底面A1B1C1D1内A1,B1,C1,D1四点中任何三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中逆命题为假命题．
②中的逆命题是：在空间中，若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中逆命题是真命题．
答案：②
17．【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,
∵x∈［,2］,∴≤y≤2,
∴A={y|≤y≤2}.
由x+m2≥1，得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B,
∴1-m2≤,解得m≥或m≤-,
故实数m的取值范围是（-∞,- ］∪［,+∞).
【变式备选】已知p:x∈{x|(x-1+m)(x-1-m)≥0,其中m＞0};q:x∈{x|x=n+其中n∈R且n≠0},且p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
【解析】由(x-1+m)(x-1-m)≥0,其中m＞0⇒p:x∈{x|x≥1+m或x≤1-m}.
而x=n+其中n∈R且n≠0,可知：n＞0时，x=n+≥2,当且仅当n=1时取等号;
n＜0时，x=n+=-［-n+(-)］≤-2,当且仅当n=-1时取等号，
∴q:x∈{x|x≥2或x≤-2}.
又p是q的必要条件，即q⇒p,
可知：{x|x≥2或x≤-2}⊆{x|x≥1+m
或x≤1-m},
所以1-m≥-2且1+m≤2,又m＞0,
得实数m的取值范围为{m|0＜m≤1}.
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